TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 108

Man untersuche nachstehend angeführte Relationen $R \subseteq M^{2}$ im Hinblick auf die Eigenschaften Reflexivität (R), Symmetrie (S), Antisymmetrie (A) und Transitivität (T):
a) $M = Menge aller Einwohner von Wien (Volkszählung 2001), a R b \Leftrightarrow a ist verheiratet mit b$
b) $M wie oben, a R b \Leftrightarrow a ist nicht aelter als b$
c) $M wie oben, a R b \Leftrightarrow a ist so gross wie b$
d) $M = ℝ, a R b \Leftrightarrow a - b \in ℤ$
e) $M = ℝ^{n}, (x_{1}, ..., x_{n}) R (y_{1}, ..., y_{n}) \Leftrightarrow x_{i} \leq y_{i} \forall i = 1, ..., n$

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Hilfreiches

Reflexivität

Reflexivität

$\forall a \in M : a R a$

Symmetrie

Symmetrie

$\forall a, b \in M : a R b \Rightarrow b R a$

Antisymmetrie

Antisymmetrie

$\forall a, b \in M : a R b \land b R a ⟹ a = b$

Transitivität

Transitivität

$\forall a, b, c \in M : a \circ b \land b \circ c \Rightarrow a \circ c$

Lösung von Baccus

(naiv, bitte nochmal überprüfen!): ( $⊤$ = wahr, $⊥$ = falsch):

Beispiel (a) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist verheiratet mit $b$

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊥$ Man kann (noch) nicht mit sich selbst verheiratet sein.

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊤$ Wenn Gattin mit Gatte verheiratet, dann auch Gatte mit Gattin.

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊥$ Im Endeffekt wie (R).

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊥$ Drei Leute müßten untereinander verheiratet sein; möglich, aber (zumindest) der Papst mag das nicht.

Beispiel (b) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist nicht älter als $b$

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$ ich bin nicht älter als ich

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊥$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊤$ (*)

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

Beispiel (c) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist so groß wie $b$

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊤$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊥$ (*)

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

Beispiel (d) $a R b \Leftrightarrow a - b \in ℤ$

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$

Beispiel: $x - x = 0 \in ℤ$

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊤$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊥$

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

Beispiel (e) $(x_{1}, ..., x_{n}) R (y_{1}, ..., y_{n}) \Leftrightarrow x_{i} \leq y_{i} \forall i = 1, ..., n$

(R) $\forall x \in A : x R x : ⊤$

(S) $\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x : ⊥$

Gegenbeispiel: $(1, 1) \leq (1, 2); (1, 1) ≱ (1, 2)$

(A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊤$

(T) $\forall x, y, z \in A : x R y \land y R z \Rightarrow x R z : ⊤$

Beweis: $x_{i} \leq y_{i} \land y_{i} \leq z_{i} \Rightarrow x_{i} \leq z_{i}$

(*) Die Antisymmetrie ist bei Beispiel (b) und (c) eine Definitionsfrage. Es kommt darauf an, wie genau das Alter bzw, die Größe gemessen werden.

Vorsicht: Das hier nur abzuschreiben, ohne es durchzudenken, gibt Ärger. An der Tafel muß man auf Aufforderung dazu bereit sein, für alle Punkte Beweise oder Gegenbeispiele anzuführen (und beim UE-Test sowieso!).

Außerdem ist in einem Punkt da oben ein Hund drin, den ich mir vom Adrenalinrausch an der Tafel nicht mehr gemerkt habe :-).

Nachdenker erwünscht! (bitte auch gleich ausbessern, danke)

--Baccus 05:31, 26. Nov 2006 (CET)

Der Fehler war bei c) (A): x=y bedeutet hier nicht, dass beide gleich groß sind, sondern, dass es die gleichen Personen sind. Daher ist die Aussage falsch.

mick: naja, beim unteren beispiel wurde anhand einer funktion das alter ermittelt, was anscheinend das alter in zahlen wiedergibt. wenn man dem ansatz folgt, könnte man genausogut hier auch z.b. größe(a) = größe(b) anwenden mit den rückgabewerten true/false. dann wäre die aussage wahr.

andihi: Bei b) war auch ein Fehler bei der Antisymmetrie: Da die Angabe $a$ ist nicht älter als $b$ lautet, ist das gleichbedeutend mit $A l t e r (a) \leq A l t e r (b)$ Daraus folgt für mich: $(A l t e r (a) \leq A l t e r (b)) \land (A l t e r (b) \leq A l t e r (a)) \Rightarrow A l t e r (a) = A l t e r (b)$

Bsp d ist glaube ich auch falsch: sollte lauten: (A) $\forall x, y \in A : x R y \land y R x \Rightarrow x = y : ⊤$ wegen $a R b \Leftrightarrow a - b \in ℤ$ kann $a R b$ immer falsch sein, ausser $a = b \Rightarrow a - a = 0$ und $0 \in ℤ$ Wenn laut Def. der Implikation diese immer wahr ist, wenn die erste Aussage falsch ist, so müßte die gesamte Aussage doch wahr sein und somit die Antisymmetrie ebenso

Zu letzter Behauptung: Beispiel: Bei $(1.4, 2.4) \in R$ gilt ja auch $(2.4, 1.4) \in R$ , aber $a \neq b$ , deswegen keine Antisymmetrie. Andreas (Diskussion) 16:37, 2. Apr. 2015 (CEST)

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Inhaltsverzeichnis

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Lösung von Baccus

Beispiel (a) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist verheiratet mit $b$

Beispiel (b) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist nicht älter als $b$

Beispiel (c) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist so groß wie $b$

Beispiel (d) $a R b \Leftrightarrow a - b \in ℤ$

Beispiel (e) $(x_{1}, ..., x_{n}) R (y_{1}, ..., y_{n}) \Leftrightarrow x_{i} \leq y_{i} \forall i = 1, ..., n$

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Beispiel (a) aRb⇔a ist verheiratet mit b

Beispiel (b) aRb⇔a ist nicht älter als b

Beispiel (c) aRb⇔a ist so groß wie b

Beispiel (d) aRb⇔a−b∈ℤ

Beispiel (e) (x1,...,xn)R(y1,...,yn)⇔xi≤yi∀i=1,...,n

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Beispiel (a) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist verheiratet mit $b$

Beispiel (b) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist nicht älter als $b$

Beispiel (c) $a R b \Leftrightarrow$ $a$ ist so groß wie $b$

Beispiel (d) $a R b \Leftrightarrow a - b \in ℤ$

Beispiel (e) $(x_{1}, ..., x_{n}) R (y_{1}, ..., y_{n}) \Leftrightarrow x_{i} \leq y_{i} \forall i = 1, ..., n$