TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 149

Man zeige, dass die Funktion $f:ℝ\mathbb{\setminus }\mathbb{\{}\text{6}\mathbb{\}}\to ℝ\mathbb{\setminus }\mathbb{\{}\text{-10}\mathbb{\}},y=\frac{10x+1}{6-x}$ bijektiv ist, und bestimme ihre Umkehrfunktion.

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Hilfreiches

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_1,a_2\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ oder äquivalent: $a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\mathrm{\forall }b\in B\mathrm{\exists }a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Umkehrfunktion

Lösungsvorschlag

Umkehrfunktion

$\begin{array}{cc}y& =\frac{10x+1}{6-x}\\ y\cdot (6-x)& =10x+1\\ 6y-xy& =10x+1\\ 6y-1& =10x+xy\\ 6y-1& =x\cdot (10+y)\\ \frac{6y-1}{10+y}& =x\end{array}$

$f^{-1}(x)=\frac{6x-1}{10+x}$

Bijektivität

Die Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Injektivität

Wenn die Funktion injektiv ist, dann müssen zwei idente Funktionswerte den gleichen Ausgangswert besitzen:

$f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2$

$\begin{array}{cc}y(x_1)& =y(x_2)\\ \frac{10x_1+1}{6-x_1}& =\frac{10x_2+1}{6-x_2}\\ (10x_1+1)\cdot (6-x_2)& =(10x_2+1)\cdot (6-x_1)\\ 60x_1-10x_1{x}_2+6-x_2& =60x_2-10x_1{x}_2+6-x_1\\ 60x_1-x_2& =60x_2-x_1\\ 61x_1& =61x_2\\ x_1& =x_2\end{array}$

Surjektivität

Wenn die Funktion surjektiv ist, dann muss sie für jeden Funktionswert zumindest einen Ausgangswert haben:

$f^{-1}(x)=\frac{6x-1}{10+x}\in ℝ\mathbb{\setminus }\mathbb{\{}\text{-10}\mathbb{\}}$ (wahre Aussage)

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 120 (ähnliches Beispiel)