TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 185

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):

$\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{5}^k$

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Hilfreiches

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz

Für $n\ge 0$ und beliebige $x,y\in ℂ$: $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k=(x+y{)}^n$

Aufgabe

Binomischen Lehrsatz so umformen, dass er auf die angegebene Formel anwendbar ist.

Ähnliches Beispiel

Hier die Lösung eines ähnlichen Beispiels ohne Benützung der Differentialrechnung.

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 150

Lösung mittels Differentialrechnung

Achtung

Laut Angabe soll das Beispiel ohne Benützung der Differentialrechnung gelöst werden. Daher dürfte diese Lösung in der Übung nicht aktzeptiert werden.

$a=1,b=x$ einsetzen, damit $a^{n-k}$ wegfällt.

$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^k$

Nun bilden wir die 1. Ableitung, damit k heruntergeholt wird.

$n(1+x{)}^{n-1}=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{x}^{k-1}$

Die Gleichung beidseitig mit x multiplizieren, damit wieder $x^k$ steht.

$nx(1+x{)}^{n-1}=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{x}^k$

Jetzt wird die Angabe eingesetzt.

$n5(1+5{)}^{n-1}=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{5}^k$

Als Ergebnis bekommen wir heraus:

$n5(1+5{)}^{n-1}=5n{6}^{n-1}$