Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}k4^{k}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4439a4eda714d9f3915df2114bcaa348&mode=mathml)
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
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Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
- Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient[Bearbeiten, Wikipedia, 2.03 Definition]
![{\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,k\leq n:\qquad {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=06642464b9a5ba4fe5f662c394989723&mode=mathml)
Äquivalente Definition (Merkregel):
Spezialfall:
- Binomischer Lehrsatz
Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten, Wikipedia, 2.05 Satz]
Für
und beliebige
:
Der Term muss so umgewandelt werden, dass der Binomische Lehrsatz angewendet werden kann.
- Dazu muss zuerst in einer Nebenrechnung
in den Binomialkoeffizient "hineinmultipliziert" werden:
![{\displaystyle k{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot k={\frac {n\cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}=n{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(\underbrace {n-k+1-1} _{\left(n-1\right)-\left(k-1\right)})!}}=n{\binom {n-1}{k-1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=22fb452df889d3499a2d9861b0c0def3&mode=mathml)
Dieses Ergebnis setzen wir nun in den Term ein und durch Indexverschiebung
wird daraus dann:
Jetzt kann man den Binomischen Lehrsatz benutzen, in dem man
,
und
setzt:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}1^{n-1-k}4^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}4^{k}=(1+4)^{n-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=29026ce536ed9c53969f0cf5743756e4&mode=mathml)
Daher folgt jetzt unser Ergebnis:
Falls jemand auch nicht gleich die Umformung verstanden hat (Regel 4 wird weiter unten erklärt)
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Binomialkoeffizient:_Rechenregeln
Wenn man in der obigen Rechnung statt
immer den Paramter
hinschreibt, kommt man auf genau demselben Rechnenweg wie oben auf dieses allgemeinere Ergebnis:
Das ist deshalb toll, da man dann auch gleich die Beispiele 178, 179 und 180 miterledigt hat:
178:
179:
180:
--PurpleHaze 22:40, 16. Nov 2008 (CET)
Edit: anpassung der Beispielnummern --Friday 13:44, 31. Mai 2020 (CEST)