TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 184

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k{4}^k$

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Hilfreiches

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

$\mathrm{\forall }n,k\in \mathbb{N},k\le n:(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Äquivalente Definition (Merkregel): $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{\stackrel{k\text{Glieder}}{\overbrace{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)}}}{\underset{k\text{Glieder}}{\underbrace{1\cdot 2\cdots k}}}$ Spezialfall: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}):=1$

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz

Für $n\ge 0$ und beliebige $x,y\in ℂ$: $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k=(x+y{)}^n$

Lösung

Der Term muss so umgewandelt werden, dass der Binomische Lehrsatz angewendet werden kann.

$\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})4^k=\underset{=0}{\underbrace{0(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})4^0}}+\sum _{k=1}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})4^k=\sum _{k=1}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})4^k=\dots$

Dazu muss zuerst in einer Nebenrechnung $k$ in den Binomialkoeffizient "hineinmultipliziert" werden:

$k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot k=\frac{n\cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(\underset{(n-1)-(k-1)}{\underbrace{n-k+1-1}})!}=n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$

Dieses Ergebnis setzen wir nun in den Term ein und durch Indexverschiebung $k=k-1$ wird daraus dann:

$\dots =\sum _{k=1}^{n}n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})4^k=n\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})4^k=n\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})4^{k+1}=4n\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})4^k$

Jetzt kann man den Binomischen Lehrsatz benutzen, in dem man $x=1$, $y=4$ und $n=n-1$ setzt:

$\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})1^{n-1-k}{4}^k=\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})4^k=(1+4{)}^{n-1}$

Daher folgt jetzt unser Ergebnis:

$\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})4^k=\dots =4n\underset{=(1+4{)}^{n-1}}{\underbrace{\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})4^k}}=4n(1+4{)}^{n-1}$

Falls jemand auch nicht gleich die Umformung verstanden hat (Regel 4 wird weiter unten erklärt) https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Binomialkoeffizient:_Rechenregeln

Allgemeine Lösung

Wenn man in der obigen Rechnung statt $4$ immer den Paramter $N$ hinschreibt, kommt man auf genau demselben Rechnenweg wie oben auf dieses allgemeinere Ergebnis:

$\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})N^k=N\cdot (N+1{)}^{n-1}n$

Das ist deshalb toll, da man dann auch gleich die Beispiele 178, 179 und 180 miterledigt hat:

178: $N=5\Rightarrow \sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})5^k=5\cdot (5+1{)}^{n-1}n$

179: $N=-1\Rightarrow \sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k=(-1)\cdot (-1+1{)}^{n-1}n=0$

180: $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-k)2^k=n\underset{=(1+2{)}^n}{\underbrace{\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})2^k}}-\underset{(N=2)}{\underbrace{\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})2^k}}=\dots$ $\dots =3^{n}n-2\cdot 3^{n-1}n=n(3\cdot 3^{n-1}-2\cdot 3^{n-1})=3^{n-1}n(3-2)=3^{n-1}n$

--PurpleHaze 22:40, 16. Nov 2008 (CET)

Edit: anpassung der Beispielnummern --Friday 13:44, 31. Mai 2020 (CEST)

Links

• f.thread:16467
• Lösung mit Hilfe von WolframAlpha