TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 183

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):

$\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}k5^{k}$

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Hilfreiches

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz

Für $n\geq 0$ und beliebige $x,y\in \mathbb {C}$: $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=(x+y)^{n}$

Aufgabe

Binomischen Lehrsatz so umformen, dass er auf die angegebene Formel anwendbar ist.

Ähnliches Beispiel

Hier die Lösung eines ähnlichen Beispiels ohne Benützung der Differentialrechnung.

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 150

Lösung mittels Differentialrechnung

Achtung

Laut Angabe soll das Beispiel ohne Benützung der Differentialrechnung gelöst werden. Daher dürfte diese Lösung in der Übung nicht aktzeptiert werden.

$a=1,b=x$ einsetzen, damit $a^{n-k}$ wegfällt.

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{k}$

Nun bilden wir die 1. Ableitung, damit k heruntergeholt wird.

$n(1+x)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}kx^{k-1}$

Die Gleichung beidseitig mit x multiplizieren, damit wieder $x^{k}$ steht.

$nx(1+x)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}kx^{k}$

Jetzt wird die Angabe eingesetzt.

$n5(1+5)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}k5^{k}$

Als Ergebnis bekommen wir heraus:

$n5(1+5)^{n-1}=5n6^{n-1}$