TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 28

Zeigen Sie, dass $\sqrt{10}$ irrational ist!

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• Behauptung: $\sqrt{10}\notin \mathbb{Q}$
• Beweis:

angenommen $\sqrt{10}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, wobei $p,q\in \mathbb{N},q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$10=\frac{p^2}{q^2}$

$10q^2=p^2$

$\Rightarrow p^2$ ist durch 10 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 10 teilbar $\Rightarrow p=10r$

$(10r{)}^2=10q^2$

$100r^2=10q^2$

$10r^2=q^2$

$\Rightarrow q^2$ ist durch 10 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 10 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 10 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind.

=> die Behauptung $\sqrt{10}\in \mathbb{Q}$ ist falsch.

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(aus f.thread:35452 - abgewandelte Aufgabenstellung - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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Grundlagen: 2._VO_17.10.2005, 3._VO_18.10.2005