TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 329

Bestimmen Sie zur folgenden Permutation $\pi$ die Zyklendarstellung, das Vorzeichen, sowie die inverse Permutation ${\pi }^{-1}$:

$\pi =\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 8& 9& 1& 7& 2& 5& 4& 3& 6\end{array}\right)$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Hilfreiches

Signum einer Permutation

Signum einer Permutation

$\mathrm{sgn}(\pi )=(-1{)}^{\text{Anzahl der Inversionen von }\pi }=(-1{)}^{\text{Anzahl Zykel}+\sum _i\text{Länge des i-ten Zykel}}$

Wikipedia

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_1,a_2\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ oder äquivalent: $a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$

Lösungsvorschlag

Zyklendarstellung

$\pi =(1,8,3)(2,9,6,5)(4,7)$

Erklärung: http://www.youtube.com/watch?v=t40QqRIXLRs

Signum

$\mathrm{sgn}(\pi )=(-1{)}^{3+9}=1$

inverse Permuation

Dazu dreht man die zwei Zeilen um und sortiert dann die Spalten, dass die Zahlen in der oberen Zeile aufsteigen

${\pi }^{-1}=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 3& 5& 8& 7& 6& 9& 4& 1& 2\end{array}\right)$