TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 381

Man zeige, daß die von $\bar{5}$ erzeugte Untergruppe $U$ von $⟨{\mathbb{Z}}_{15},+⟩$ ein Normalteiler von $⟨{\mathbb{Z}}_{15},+⟩$ ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe ${\mathbb{Z}}_{15}/U$.

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\le G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\mathrm{\forall }a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösung

Man zeige, dass die von 5 erzeugte Untergruppe U von <Z15, +> Normalteiler ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe Z15 / U.

U = <5> = {0, 5, 10}

U ist Normalteiler, weil <Z15, +> kommutativ ist, und daher die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen müssen.

Nebenklassen:

a := 0 + U = 5 + U = 10 + U = {0, 5, 10}
b := 1 + U = 6 + U = 11 + U = {1, 6, 11}
c := 2 + U = 7 + U = 12 + U = {2, 7, 12}
d := 3 + U = 8 + U = 13 + U = {3, 8, 13}
e := 4 + U = 9 + U = 14 + U = {4, 9, 14}

Verknüpfungstafel:

$\begin{array}{cccccc}+& a& b& c& d& e\\ a& a& b& c& d& e\\ b& b& c& d& e& a\\ c& c& d& e& a& b\\ d& d& e& a& b& c\\ e& e& a& b& c& d\end{array}$

Ist also isomorph zu <Z5,+>

Siehe auch:

Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 258
  Beispiel 259
  Beispiel 261

Wikipädia:

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• Untergruppe
• Normalteiler
• Nebenklasse
• Faktorgruppe