TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 403

Von der Abbildung $f:\left(\mathbb {Z} _{3}\right)^{2}\rightarrow \left(\mathbb {Z} _{3}\right)^{4}$ sei bekannt, dass f ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass $f\left(2,0\right)=\left(0,1,2,2\right),f\left(1,2\right)=\left(2,2,1,0\right)$. Man ermittle daraus $f\left(w\right)$ für alle $w\in (\mathbb {Z} _{3})^{2}$

Hilfreiches

Gruppe

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Homomorphismus

Homomorphismus

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\star )$ Gruppen.

Eine Abbildung $\varphi :G\rightarrow H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\star \varphi (b)\quad \forall a,b\in G$.

Lösungsvorschlag von neo

$f(2,0)=(0,1,2,2)$
$f(1,2)=(2,2,1,0)$
$f(0,2)=(2,0,0,2)$
$f(2,2)=(2,1,2,1)$
$f(2,1)=(1,1,2,0)$
$f(1,1)=(1,2,1,2)$
$f(1,0)=(0,2,1,1)$
$f(0,1)=(1,0,0,1)$
$f(0,0)=(0,0,0,0)$

<!== ==Beispiel 403== Von der Abbildung $\mathbb {f} \colon \;\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}\mapsto \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$ sei bekannt, dass $\mathbb {f}$ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass $\mathbb {f} \left(2,0\right)=\left(0,1,2,2\right)$, $\mathbb {f} \left(1,2\right)=\left(2,2,1,0\right)$. Man ermittle daraus $f\left(w\right)$ für alle $w\in (\mathbb {Z_{3}} )^{2}$ >

Hilfsmittel von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese Eigenschaft zu prüfen, wird bei algebraischen Strukturen oft übersehen)

 $a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißen kurz Gruppenelemente.

Abelsche bzw. kommutative Gruppe

Eine Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

1. Kommutativität
   • $\forall \,\,a,b\,\in G$ gilt$\colon \;a\circ b=b\circ a$.

Ordnung, Mächtigkeit und Index

Sei $\left\langle G,\circ \right\rangle$ eine Gruppe. Die Mächtigkeit $|G|$ wird auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe $G_{n}=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}$ ist die Ordnung ($n=ord(G)$) die Anzahl $n$ der Gruppenelemente. Sei $U$ Untergruppe der endlichen Gruppe $G_{n}$, also $U\leq G$. Die Anzahl der Links- bzw. Rechtsnebenklassen von $U$ in $G$ wird als Index $\vert G\colon U\vert$ von $G$ nach $U$ bezeichnet.

Restklasse

Es sei $m\in \mathbb {Z} \setminus {\{0\}}$ eine ganze Zahl und $a\in \mathbb {Z}$ eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von $a$ modulo $m$, geschrieben als

$a+m\cdot \mathbb {Z} ,$

ist die Äquivalenzklasse von $a$ bezüglich der Kongruenz modulo $m$, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch $m$ den gleichen Rest wie $a$ ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen $b$, die sich aus $a$ durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von $m$ ergeben:

$a+m\cdot \mathbb {Z} =\{\;b\,|\,b=a+k\cdot m\,$, für ein $\,k\in \mathbb {Z} \;\}=\{\;b\,|\,b\equiv a{\bmod {m}})\;\}$.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten $\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},\dots ,{\overline {m-1}}\}$. Die Menge aller Restklassen modulo $m$ schreibt man auch als $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Z} _{m}$. Sie hat $m$ Elemente und die Struktur einer Gruppe und wird auch Restklassengruppe genannt.

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $\varphi \;\colon \;G\mapsto H$ zwischen zwei Gruppen $\left\langle G,\circ \right\rangle$ und $\left\langle H,\star \right\rangle$ heißt Homomorphismus (oder Gruppenhomomorphismus), wenn für alle $a,b\in G$ gilt

$\varphi \;(a\circ b)=\varphi \;(a)\star \varphi \;(b)$.

Ist $\varphi$ bijektiv, so heißt $\varphi$ Isomorphismus. Die inverse Abbildung $\varphi ^{-1}\;\colon \;H\to G$ ist dann auch ein Isomorphismus. Existiert zwischen zwei Gruppen $G$ und $H$ ein Isomorphismus, so heißen $G$ und $H$ isomorph, und man schreibt dafür $G\cong H$. Ist $\varphi \;\colon \;G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element $e_{G}$ von $G$ auf das neutrale Element $e_{H}$ von $H$ abgebildet, d.h.

$\varphi \;(e_{G}\;)=e_{H}$.

Weiters gilt

$\varphi \;(a^{-1})=\varphi \;(a)^{-1}\quad \forall \;a\in G$.

Lösung von Har203

Wir wissen, dass die Gruppe $\left\langle \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2},+_{2}\right\rangle$ mit der zweistelligen Addition $+_{2}$ komponentenweise definiert ist. D.h., dass

$\forall \,a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ gilt$\colon \;(a,\;b),\,\,(c,\;d)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}$ mit$\colon \;(a,\;b)+_{2}(c,\;d)=(a+c,\;b+d)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}$.

und vom Gruppenhomomorphismus wissen wir, dass die Abbildungen der beiden Elemente $\left(2,0\right)$ und $\left(1,2\right)$ bekannt sind:

$\mathbb {f} \left(2,0\right)=\left(0,1,2,2\right)$ und $\mathbb {f} \left(1,2\right)=\left(2,2,1,0\right)$. 

Die Operationstafel der Gruppe lautet ($\color {green}{\text{grün}}\color {black}$ ist das neutrale Element):

${\begin{array}{c|ccccccccc}\mathbf {+_{2}} &\mathbf {(0,0)} &\mathbf {(0,1)} &\mathbf {(0,2)} &\mathbf {(1,0)} &\mathbf {(1,1)} &\mathbf {(1,2)} &\mathbf {(2,0)} &\mathbf {(2,1)} &\mathbf {(2,2)} \\\hline \mathbf {(0,0)} &\color {green}(0,0)&\color {green}(0,1)&\color {green}(0,2)&\color {green}(1,0)&\color {green}(1,1)&\color {green}(1,2)&\color {green}(2,0)&\color {green}(2,1)&\color {green}(2,2)\\\mathbf {(0,1)} &\color {green}(0,1)&(0,2)&(0,0)&(1,1)&(1,2)&(1,0)&(2,1)&(2,2)&(2,0)\\\mathbf {(0,2)} &\color {green}(0,2)&(0,0)&(0,1)&(1,2)&(1,0)&(1,1)&(2,2)&(2,0)&(2,1)\\\mathbf {(1,0)} &\color {green}(1,0)&(1,1)&(1,2)&(2,0)&(2,1)&(2,2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)\\\mathbf {(1,1)} &\color {green}(1,1)&(1,2)&(1,0)&(2,1)&(2,2)&(2,0)&(0,1)&(0,2)&(0,0)\\\mathbf {(1,2)} &\color {green}(1,2)&(1,0)&(1,1)&(2,2)&(2,0)&(2,1)&(0,2)&(0,0)&(0,1)\\\mathbf {(2,0)} &\color {green}(2,0)&(2,1)&(2,2)&(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2)\\\mathbf {(2,1)} &\color {green}(2,1)&(2,2)&(2,0)&(0,1)&(0,2)&(0,0)&(1,1)&(1,2)&(1,0)\\\mathbf {(2,2)} &\color {green}(2,2)&(2,0)&(2,1)&(0,2)&(0,0)&(0,1)&(1,2)&(1,0)&(1,1)\end{array}}$

Weiters wissen wir, dass die Gruppe $\left\langle \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4},+_{4}\right\rangle$ ebenfalls komponentenweise definiert ist. D.h., dass

$\forall \,a,b,c,d,e,f,g,h\in \left(\mathbb {Z_{4}} \right)^{2}$ gilt$\colon \;(\;a,\;b,\;c,\;d\;),\,\,(\;e,\;f,\;g,\;h\;)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$ mit$\colon \;(\;a,\;b,\;c,\;d)+_{4}(e,\;f,\;g,\;h\;)=(\;a+e,\;b+f,\;c+g,\;d+h\;)\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$.

Für alle $a,b\in \left\langle \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2},+_{2}\right\rangle$ muss laut Homomorphismus gelten:

$\varphi \;(a+_{2}b)=\varphi \;(a)+_{4}\varphi \;(b)$.

Die Abbildungstafel der Elemente lautet:

1. $\;\color {red}{\text{rot}}\color {black}$ sind die vordefinierten abgebildeten Elemente.
2. $\;\color {green}{\text{grün}}\color {black}$ sind die beiden neutralen Elemente ($\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}$ bzw. $\in \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$).
3. $\;\color {blue}{\text{blau}}\color {black}$ sind die berechneten abgebildeten Elemente.

${\begin{array}{c|c|c|c}Schritt-\#&\varphi \;(\;(x,\;y)\;)&=\mathbf {\varphi (\;(a,\;b)+_{2}(c,\;d)\;)} &=\mathbf {\varphi (\;(a,\;b)\;)} +_{4}\mathbf {\varphi (\;(c,\;d)\;)} \\\hline 1&\color {green}\varphi (\;(0,\;0)\;)&&\color {green}(0,\;0,\;0,\;0)\\4&\varphi (\;(0,\;1)\;)&=\varphi (\;(2,\;0)+_{2}(0,\;1)\;)&\color {blue}=(0,\;1,\;2,\;2)+_{4}(1,\;2,\;1,\;2)=(1,\;0,\;0,\;1)\\2&\varphi (\;(0,\;2)\;)&=\varphi (\;(1,\;2)+_{2}(2,\;0)\;)&\color {blue}=(2,\;2,\;1,\;0)+_{4}(0,\;1,\;2,\;2)=(2,\;0,\;0,\;2)\\5&\varphi (\;(1,\;0)\;)&=\varphi (\;(2,\;0)+_{2}(2,\;0)\;)&\color {blue}=(0,\;1,\;2,\;2)+_{4}(0,\;1,\;2,\;2)=(0,\;2,\;1,\;1)\\3&\varphi (\;(1,\;1)\;)&=\varphi (\;(1,\;2)+_{2}(0,\;2)\;)&\color {blue}=(2,\;2,\;1,\;0)+_{4}(2,\;0,\;0,\;2)=(1,\;2,\;1,\;2)\\0&\color {red}\varphi (\;(1,\;2)\;)&&\color {red}(2,\;2,\;1,\;0)\\0&\color {red}\varphi (\;(2,\;0)\;)&&\color {red}(0,\;1,\;2,\;2)\\7&\varphi (\;(2,\;1)\;)&=\varphi (\;(2,\;0)+_{2}(0,\;1)\;)&\color {blue}=(0,\;1,\;2,\;2)+_{4}(1,\;0,\;0,\;1)=(1,\;1,\;2,\;0)\\6&\varphi (\;(2,\;2)\;)&=\varphi (\;(1,\;1)+_{2}(1,\;1)\;)&\color {blue}=(1,\;2,\;1,\;2)+_{4}(1,\;2,\;1,\;2)=(2,\;1,\;2,\;1)\end{array}}$

Die Abbildung $\varphi \;$ mit$\colon \;\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}\mapsto \left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}$ kann kein Isomorphismus sein, da die Ordnung (= Anzahl der Elemente) der Mengen $\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}$ unterschiedlich sind. $|\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{2}|=3^{2}=9$ und $|\left(\mathbb {Z_{3}} \right)^{4}|=3^{4}=81$. Damit kann es zwischen diesen beiden Mengen keine bijektiv Abbildung geben.