TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 590

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$

Update: WS16: "Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren:"

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_A\ast \lambda ))$, wobei $E_A$ der Einheitsvektor von A ist.

$Ei{g}_A=det(\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right))=det(\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ -1& 1-\lambda \end{array}\right))$

$=(1-\lambda )\ast (1-\lambda )-1=1-2\ast \lambda +{\lambda }^2-1=-2\ast \lambda +{\lambda }^2=𝜆\mathit{\ast }\mathit{(}𝜆\mathit{-}2\mathit{)}$

$\underset{{\lambda }_1=0}{\underbrace{\lambda }}\ast \underset{{\lambda }_2=2}{\underbrace{(\lambda -2)}}$

Die Eigenwerte von A sind somit:

• ${\lambda }_1=0$
• ${\lambda }_2=2$

Erweiterung von mnemetz's Lösungsvorschlag von ws

Die Eigenvektoren sind bestimmt durch die Formel: $A-(E_A\ast {\lambda }_n))\ast x=0$, wobei man als $\lambda$ alle Eigenwerte nacheinander einsetzt.

Für $\lambda =0$ haben wir also $(\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right))\ast \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=0$

Hier können wir schon sehen, dass $x_1=x_2$ herauskommt.

Unser unbestimmter Eigenvektor wäre also: $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_1\end{array}\right)$

(Konkret könnten wir z.B: 1 einsetzen und würden $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ als bestimmten Eigenvektor bekommen.)

Für $\lambda =2$ kommt uns die Matrix $(\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right))\ast \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=0$ heraus.

Daraus kann man ablesen, dass $x_1=-x_2$.

Daher haben wir hier den unbestimmten Eigenvektor: $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ -x_1\end{array}\right)$