TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 600

Für die Vektoren $\overrightarrow{𝐱}=(2,1,1),\overrightarrow{𝐲}=(3,-1,-2)$ und $\overrightarrow{𝐳}=(1,2,1)$ berechne man

(a) die Längen von $\overrightarrow{𝐱},\overrightarrow{𝐲}$ und $\overrightarrow{𝐳},$ (b) den Winkel $\phi$ zwischen $\overrightarrow{𝐱}$ und $\overrightarrow{𝐲},$ (c) das Volumen des von $\overrightarrow{𝐱},\overrightarrow{𝐲}$ und $\overrightarrow{𝐳}$ aufgespannten Parallelepipeds.

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Hilfreiches von Har203

Länge/Betrag eines Vektors

Aus der geometrischen Definition des Skalarprodukts erhält man für die Länge eines Vektors $\overrightarrow{a}$ den allgemeinen Zusammenhang

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}$.

Sind die Koordinaten von $\overrightarrow{a}$ bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems gegeben, $a_1,a_2$ für einen Vektor der Ebene und $a_1,a_2,a_3$ für einen Vektor im Raum, so kann seine Länge nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ bzw. $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$.

Dies entspricht der euklidischen Norm.

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.

Determinante: Regel von Sarrus

Nach der Regel von Sarrus erhält man für die $3\times 3$-Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& a_{\text{13}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& a_{\text{23}}\\ a_{\text{31}}& a_{\text{32}}& a_{\text{33}}\end{array}\right)$

die Determinante von $A$ mittels nachstehender Formel:

$det(A)=a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{33}}+a_{\text{12}}{a}_{\text{23}}{a}_{\text{31}}+a_{\text{13}}{a}_{\text{21}}{a}_{\text{32}}-a_{\text{13}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{31}}-a_{\text{11}}{a}_{\text{23}}{a}_{\text{32}}-a_{\text{12}}{a}_{\text{21}}{a}_{\text{33}}$

Parallelepiped

Ein Parallelepiped wird von drei Vektoren erzeugt. Stellt man die drei an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt).

Volumen Das Volumen $V$ ist das Produkt der Grundfläche $G$ (Parallelogramm) und der Höhe $h$ des Parallelepipeds. Mit $G=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \sin (\gamma )=|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|$, wobei $\gamma$ der Winkel zwischen $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ ist, und der Höhe $h=|\overrightarrow{c}|\cdot |\cos (\theta )|$, wobei $\theta$ der Winkel zwischen $\overrightarrow{c}$ und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich

$\begin{array}{cc}V& =G\cdot h=(|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \sin (\gamma ))\cdot |\overrightarrow{c}|\cdot |\cos (\theta )|=|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|\cdot |\overrightarrow{c}|\cdot |\cos (\theta )|=|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}|\end{array}$

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ nach der Formel

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}).$

Dabei bezeichnen $|\overrightarrow{a}|$ und $|\overrightarrow{b}|$ jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit $\cos \sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\cos \phi$ wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels $\phi$ (phi) bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinanderstehen.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ (gesprochen als „a Kreuz b“) zweier Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der senkrecht auf der von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Ebene steht. Die Länge $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|$ dieses Vektors ist gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$, also

$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot |\sin \theta |$,

wobei der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel hier mit $\theta$ bezeichnet wird.

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem lässt sich das Kreuzprodukt wie folgt berechnen:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$

Spatprodukt

Notation

Oft wird für das Spatprodukt keine eigene Notation eingeführt, sondern man schreibt einfach $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$. Andere gebräuchliche Notationen sind $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]$, $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩$ und $|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}|$.

Darstellung in kartesischen Koordinaten

In einem rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem bzw. im reellen Koordinatenraum mit der Standardorientierung lässt sich das Spatprodukt direkt aus den Koordinaten der beteiligten Vektoren berechnen. Ist $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3{)}^T,\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3{)}^T$ und $\overrightarrow{c}=(c_1,c_2,c_3{)}^T$, so gilt

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=a_1{b}_2{c}_3+b_1{c}_2{a}_3+c_1{a}_2{b}_3-a_1{b}_3{c}_2-b_1{c}_3{a}_2-c_1{a}_3{b}_2$

Diese Formel lässt sich auch mithilfe der Determinante ausdrücken:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=det(\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right))$.

Geometrische Interpretation

Betrag des Volumens und orientiertes Volumen:

Das Volumen $V$ des von den drei Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ aufgespannten Spats (Parallelepipeds) ist gleich dem Betrag des Spatprodukts:

$V=|(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})|=|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}|$.

Lösungsvorschlag von Har203

Die drei Vektoren sind$:𝐱=(2,1,1),𝐲=(3,-1,-2)$ und $𝐳=(1,2,1)$

Längen der Vektoren

• Wir berechnen zuerst die Längen der Vektoren

$|\overrightarrow{x}|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6},|\overrightarrow{y}|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{14},|\overrightarrow{z}|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$

Winkel

Wir berechnen nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$:

Vorab berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$, welches wir auch apäter für die Berechnung des Volumens benötigen werden:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right).$

$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}=(-1,7,-5)$

• Wir können diesen Winkel über das Kreuzprodukt oder das Skalarprodukt berechnen:

Zuerst berechnen wir den Winkel über das Kreuzprodukt:

$|\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|\cdot |\overrightarrow{y}|\cdot \sin (\theta )$

$\sin (\theta )=\frac{|\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}|}{|\overrightarrow{x}|\cdot |\overrightarrow{y}|}=\frac{|(-1,7,-5)|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{14}}=\frac{\sqrt{(-1{)}^2+7^2+(-5{)}^2}}{\sqrt{84}}=\sqrt{\frac{75}{84}}=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$.

$⟹\theta \approx 1.2374\equiv 70.89^{\circ }$.

Und jetzt auch noch über das Skalarprodukt:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3.$

$|\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|\cdot |\overrightarrow{y}|\cdot \cos \sphericalangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$.

$\cos (\phi )=\cos \sphericalangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\frac{(2\cdot 3)+(1\cdot -1)+(1\cdot (-2)}{\sqrt{(}6)\cdot \sqrt{(}14)}=\frac{6-1-2}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{21}}$.

$⟹\phi \approx 1.2374\equiv 70.89^{\circ }$.

Volumen

Wir berechnen noch das Volumen, des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds:

• Wir können das Volumen in ${ℝ}^3$ über den Spat berechnen oder über den Betrag der Determinante jener Matrix, die wir erhalten, wenn wir die vorgegebenen drei Vektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix aufnehmen.

Zuerst über den Betrag des Spatprodukt:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=a_1{b}_2{c}_3+b_1{c}_2{a}_3+c_1{a}_2{b}_3-a_1{b}_3{c}_2-b_1{c}_3{a}_2-c_1{a}_3{b}_2$

Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$ haben wir im vorherigen Abschnitt bei der Berechnung des Winkel $\phi$ berechnet:

$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}=(-1,7,-5)$

Das Spatprodukt $(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})$ dreier Vektoren $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ und $\overrightarrow{z}$ des dreidimensionalen euklidischer Vektorraums ${ℝ}^3$ kann wie folgt definiert werden:

$(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})=(\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y})\cdot \overrightarrow{z}$.

Wir berechnen das Volumen unsers geometrischen Körpers:

$(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})=(-1,7,-5)\cdot \overrightarrow{(1,2,1)}=((-1)\cdot 1)+(7\cdot 2)+((-5)\cdot 1)=8$.

$⟹$ D.h. das Volumen des Parallelepipeds ist $8E^3$ ($E$ für Einheiten). $◼$

Das Volumen über die Determinante der noch zu erstellenden Matrix berechnet:

Wir erzeugen die Matrix $A$ aus den Spaltenvektoren der drei vorgegebenen Vektoren:

$A=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\begin{array}{c}3\\ -1\\ -2\end{array}\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\end{array}\right)$

Die Determinante entspricht in ${ℝ}^3$ dem Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten geometrischen Körpers. Wir berechnen die Determinante $det(A)$ nach der Regel von Sarrus:

$V=det(A)=(2\cdot (-1)\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1+1\cdot 1\cdot (-2)-1\cdot (-1)\cdot 1-3\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot (-2)=8$

D.h. das Volumen des Parallelepipeds ist natürlich wieder $8E^3$ ($E$ für Einheiten) nach der Berechnung über die Determinanten-Variante.$\surd$

$◼$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Skalarprodukt
• Kreuzprodukt
• Spatprodukt
• Vektor

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_599
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_601