TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 313

Eine Funktion $f(x_{1},...,x_{n})$ heißt homogen vom Grad $r$, falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_{1},...,x_{n})$ aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

$f(\lambda x_{1},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}f(x_{1},...,x_{n})$.

Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen

(a) $f(x,y)=cx^{\alpha }y^{1-\alpha }$ und (b) $g(x,y)=(cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }$

($x$ Arbeit, $y$ Kapital, $c,d,\alpha$ konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad $r=1$ sind.

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)&=c(\lambda x)^{\alpha }(\lambda y)^{1-\alpha }\\&=c\lambda ^{\alpha }x^{\alpha }\lambda ^{1-\alpha }y^{1-\alpha }\\&=\lambda ^{\alpha +1-\alpha }cx^{\alpha }y^{1-\alpha }\\&=\lambda cx^{\alpha }y^{1-\alpha }\\&=\lambda ^{1}f(x,y,z)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Edit: die Funkion f(x,y) ist nicht vom z abhängig, z weglassen

Beispiel (b)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y)&=(c(\lambda x)^{\alpha }+d(\lambda y)^{\alpha })^{1/\alpha }\\&=(c\lambda ^{\alpha }x^{\alpha }+d\lambda ^{\alpha }y^{\alpha })^{1/\alpha }\\&=\lambda (cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }\\&=\lambda ^{1}f(x,y)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 16 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 9 (ähnliches Beispiel)