TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 313

Eine Funktion $f(x_1,\mathrm{...},x_n)$ heißt homogen vom Grad $r$, falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_1,\mathrm{...},x_n)$ aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

$f(\lambda x_1,\mathrm{...},\lambda x_n)={\lambda }^{r}f(x_1,\mathrm{...},x_n)$.

Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen

(a) $f(x,y)=c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha }$ und (b) $g(x,y)=(c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }$

($x$ Arbeit, $y$ Kapital, $c,d,\alpha$ konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad $r=1$ sind.

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)& =c(\lambda x{)}^{\alpha }(\lambda y{)}^{1-\alpha }\\ & =c{\lambda }^{\alpha }{x}^{\alpha }{\lambda }^{1-\alpha }{y}^{1-\alpha }\\ & ={\lambda }^{\alpha +1-\alpha }c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha }\\ & =\lambda c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha }\\ & ={\lambda }^{1}f(x,y,z)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Edit: die Funkion f(x,y) ist nicht vom z abhängig, z weglassen

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y)& =(c(\lambda x{)}^{\alpha }+d(\lambda y{)}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }\\ & =(c{\lambda }^{\alpha }{x}^{\alpha }+d{\lambda }^{\alpha }{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }\\ & =\lambda (c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }\\ & ={\lambda }^{1}f(x,y)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 16 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 9 (ähnliches Beispiel)