TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 16

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 297. Vergleich

Eine Funktion $f(x_{1},...,x_{n})$ heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_{1},...,x_{n})$ aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

$f(\lambda x_{1},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}f(x_{1},...,x_{n})$.

Man prüfe nach, ob die Funktionen

(a) $f(x,y,z)=x+(yz)^{1/2}$ (für $x,y,z\geq 0$),

(b) $f(x,y)=x^{2}+y$,

(c) $f(x,y)=ax^{b}y^{c}$ (mit $a,b,c\in \mathbb {R} ,x,y>0$) homogen sind.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)&=\lambda x+(\lambda y\lambda z)^{1/2}\\&=\lambda x+(\lambda ^{2}yz)^{1/2}\\&=\lambda x+\lambda (yz)^{1/2}\\&=\lambda \left(x+(yz)^{1/2}\right)\\&=\lambda f(x,y,z)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Beispiel (b)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y)&=(\lambda x)^{2}+\lambda y\\&=\lambda \left(\lambda x^{2}+y\right)\\&=\lambda f({\sqrt {\lambda }}x,y)\neq \lambda f(x,y)\end{aligned}}$

Die Funktion ist nicht homogen.

Beispiel (c)

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y)&=a(\lambda x)^{b}(\lambda y)^{c}\\&=a\lambda ^{b}x^{b}\lambda ^{c}y^{c}\\&=\lambda ^{b+c}ax^{b}y^{c}\\&=\lambda ^{b+c}f(x,y)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $b+c$.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 9 (ähnliches Beispiel)