TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 16

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Eine Funktion $f(x_1,\mathrm{...},x_n)$ heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_1,\mathrm{...},x_n)$ aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

$f(\lambda x_1,\mathrm{...},\lambda x_n)={\lambda }^{r}f(x_1,\mathrm{...},x_n)$.

Man prüfe nach, ob die Funktionen

(a) $f(x,y,z)=x+(yz{)}^{1/2}$ (für $x,y,z\ge 0$),

(b) $f(x,y)=x^2+y$,

(c) $f(x,y)=a{x}^b{y}^c$ (mit $a,b,c\in ℝ,x,y>0$) homogen sind.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)& =\lambda x+(\lambda y\lambda z{)}^{1/2}\\ & =\lambda x+({\lambda }^{2}yz{)}^{1/2}\\ & =\lambda x+\lambda (yz{)}^{1/2}\\ & =\lambda (x+(yz{)}^{1/2})\\ & =\lambda f(x,y,z)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $1$.

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y)& =(\lambda x{)}^2+\lambda y\\ & =\lambda (\lambda x^2+y)\\ & =\lambda f(\sqrt{\lambda }x,y)\ne \lambda f(x,y)\end{array}$

Die Funktion ist nicht homogen.

Beispiel (c)

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y)& =a(\lambda x{)}^b(\lambda y{)}^c\\ & =a{\lambda }^b{x}^b{\lambda }^c{y}^c\\ & ={\lambda }^{b+c}a{x}^b{y}^c\\ & ={\lambda }^{b+c}f(x,y)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $b+c$.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 9 (ähnliches Beispiel)