TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 16

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Eine Funktion f(x_1,...,x_n) heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste \lambda > 0 und alle (x_1,...,x_n) aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

f(\lambda x_1,...,\lambda x_n) = \lambda^r f(x_1,...,x_n).

Man prüfe nach, ob die Funktionen

(a) f(x,y,z) = x + (yz)^{1/2} (für x,y,z \geq 0),

(b) f(x,y) = x^2 + y,

(c) f(x,y) = ax^by^c (mit a,b,c \in \mathbb R, x,y > 0) homogen sind.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Beispiel (a)[Bearbeiten]

\begin{align}
f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) &= \lambda x + (\lambda y \lambda z)^{1/2} \\
&= \lambda x + (\lambda^2 yz)^{1/2} \\
&= \lambda x + \lambda (yz)^{1/2} \\
&= \lambda \left( x + (yz)^{1/2} \right) \\
&= \lambda f(x,y,z)
\end{align}

Die Funktion ist homogen vom Grad 1.

Beispiel (b)[Bearbeiten]

\begin{align}
f(\lambda x, \lambda y) &= (\lambda x)^2 + \lambda y \\
&= \lambda \left( \lambda x^2 + y \right) \\
&= \lambda f(\sqrt{\lambda}x,y) \neq \lambda f(x,y)
\end{align}

Die Funktion ist nicht homogen.

Beispiel (c)[Bearbeiten]

\begin{align}
f(\lambda x, \lambda y) &= a(\lambda x)^b(\lambda y)^c \\
&= a \lambda^b x^b \lambda^c y^c \\
&= \lambda^{b+c} ax^by^c \\
&= \lambda^{b+c} f(x,y)
\end{align}

Die Funktion ist homogen vom Grad b+c.

Links[Bearbeiten]