TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 98

Man zeige, dass

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x=1$.

(Anleitung: Man betrachte zunächst das Bereichsintegral ${\iint }_{{ℝ}^2}{e}^{-(x^2+y^2)/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, welches durch Transformation in Polarkoordinaten bestimmt werden kann und den Wert $2\pi$ besitzt. Daraus ist die Behauptung abzuleiten.)

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Lösungsvorschlag

Da man das gegebene Integral nicht integrieren kann, wendet man einen Trick an. Man geht eine Dimension weiter hinauf (man schaut sich das Quadrat des Integrals an):

${(\int e^{-x^2/2})}^2=\int e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\cdot \int e^{-x^2/2}\mathrm{d}x$

Nun substituiert man bei einem Integral x mit y und fasst das ganze zusammen:

$\begin{array}{cc}\int e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\cdot \int e^{-y^2/2}\mathrm{d}y& =\iint e^{-x^2/2}\cdot e^{-y^2/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\iint e^{-x^2/2-y^2/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\iint e^{-(x^2+y^2)/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$

Jetzt kann man das Bereichsintegral noch immer nicht integrieren, daher transformiert man die Koordinaten in Polarkoordinaten:

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi$

$\begin{array}{cc}\iint e^{-(x^2+y^2)/2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y& =\iint r\cdot e^{-((r\cos \phi {)}^2+(r\sin \phi {)}^2)/2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \\ & =\iint r\cdot e^{-r^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )/2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \\ & =\iint r\cdot e^{-r^2/2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \end{array}$

Jetzt kann man integrieren, indem man $r^2/2$ substituiert:

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u}\mathrm{d}u\mathrm{d}\phi & ={\int }_0^{2\pi }{e^{-u}|}_{u=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}\phi \\ & ={\int }_0^{2\pi }1\mathrm{d}\phi \\ & ={\phi |}_{\phi =0}^{2\pi }\\ & =2\pi \end{array}$

Somit wäre es bewiesen:

${\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x\right)}^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u}\mathrm{d}u\mathrm{d}\phi =2\pi$

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \sqrt{2\pi }=1$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum