TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 98

Man zeige, dass

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=1$.

(Anleitung: Man betrachte zunächst das Bereichsintegral $\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})/2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$, welches durch Transformation in Polarkoordinaten bestimmt werden kann und den Wert $2\pi$ besitzt. Daraus ist die Behauptung abzuleiten.)

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Lösungsvorschlag

Da man das gegebene Integral nicht integrieren kann, wendet man einen Trick an. Man geht eine Dimension weiter hinauf (man schaut sich das Quadrat des Integrals an):

$\left(\int e^{-x^{2}/2}\right)^{2}=\int e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x\cdot \int e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x$

Nun substituiert man bei einem Integral x mit y und fasst das ganze zusammen:

${\begin{aligned}\int e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x\cdot \int e^{-y^{2}/2}\,\mathrm {d} y&=\iint e^{-x^{2}/2}\cdot e^{-y^{2}/2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=\iint e^{-x^{2}/2-y^{2}/2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y\\&=\iint e^{-(x^{2}+y^{2})/2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y\end{aligned}}$

Jetzt kann man das Bereichsintegral noch immer nicht integrieren, daher transformiert man die Koordinaten in Polarkoordinaten:

$x=r\cos \varphi$

$y=r\sin \varphi$

${\begin{aligned}\iint e^{-(x^{2}+y^{2})/2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y&=\iint r\cdot e^{-((r\cos \varphi )^{2}+(r\sin \varphi )^{2})/2}\,\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi \\&=\iint r\cdot e^{-r^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )/2}\,\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi \\&=\iint r\cdot e^{-r^{2}/2}\,\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi \end{aligned}}$

Jetzt kann man integrieren, indem man $r^{2}/2$ substituiert:

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-u}\,\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi &=\int _{0}^{2\pi }\left.e^{-u}\right|_{u=0}^{\infty }\mathrm {d} \varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }1\mathrm {d} \varphi \\&=\left.\varphi \right|_{\varphi =0}^{2\pi }\\&=2\pi \end{aligned}}$

Somit wäre es bewiesen:

$\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x\right)^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-u}\,\mathrm {d} u\mathrm {d} \varphi =2\pi$

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\sqrt {2\pi }}=1$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum