TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 167

Die Funktion $f(t)=1-t$ für $0<t<1$ soll auf dem Intervall $(-1,+1)$ zu einer (a) geraden bzw. (b) ungeraden Funktion erweitert und außerhalb dieses Intervalls mit der Periodenlänge $2$ periodisch fortgesetzt werden. Man ermittle die beiden komplexen Fourierreihen.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

Plot der geraden Funktion

$\begin{array}{cc}{c}_0& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-i0\omega t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}({\int }_{-1}^{0}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{2}({\int }_{-1}^0(1+t)\mathrm{d}t+{\int }_0^1(1-t)\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{2}({\int }_{-1}^0(1+t)\mathrm{d}t+{\int }_0^1(1-t)\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{2}({(t+\frac{t^2}{2})|}_{-1}^0+{(t-\frac{t^2}{2})|}_0^1)\\ & =\frac{1}{2}(0+0-(-1)-\frac{(-1{)}^2}{2}+1-\frac{1^2}{2}-0-0)\\ & =\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2})\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{c}_k& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}({\int }_{-1}^{0}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t+{\int }_0^{1}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{2}({\int }_{-1}^0(1+t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t+{\int }_0^1(1-t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{2}({\int }_{-1}^0{e}^{-ik\omega t}+t{e}^{-ik\omega t}\mathrm{d}t+{\int }_0^1{e}^{-ik\omega t}-t{e}^{-ik\omega t}\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{2}({(\frac{i{e}^{-ik\pi t}}{k\pi }+\frac{(1+ik\pi t)e^{-ik\pi t}}{k^2{\pi }^2})|}_{-1}^0+{(\frac{i{e}^{-ik\pi t}}{k\pi }-\frac{(1+ik\pi t)e^{-ik\pi t}}{k^2{\pi }^2})|}_0^1)\\ & =\frac{1}{2k^2{\pi }^2}({(ik\pi +1+ik\pi t)e^{-ik\pi t}|}_{-1}^0+{(ik\pi -1-ik\pi t)e^{-ik\pi t}|}_0^1)\\ & =\frac{1}{2k^2{\pi }^2}(ik\pi e^{-ik\pi 0}+e^{-ik\pi 0}+ik\pi 0e^{-ik\pi 0}-ik\pi e^{ik\pi }-e^{ik\pi }+ik\pi e^{ik\pi }+ik\pi e^{-ik\pi }-e^{-ik\pi }-ik\pi e^{-ik\pi }-ik\pi e^{-ik\pi 0}+e^{-ik\pi 0}+ik\pi 0e^{-ik\pi 0})\\ & =\frac{1}{2k^2{\pi }^2}(ik\pi +1+0-ik\pi e^{ik\pi }-e^{ik\pi }+ik\pi e^{ik\pi }+ik\pi e^{-ik\pi }-e^{-ik\pi }-ik\pi e^{-ik\pi }-ik\pi +1+0)\\ & =\frac{1}{2k^2{\pi }^2}(2-\underset{=(-1{)}^k}{\underbrace{e^{ik\pi }}}-\underset{=(-1{)}^k}{\underbrace{e^{-ik\pi }}})\\ & =\frac{2-2(-1{)}^k}{2k^2{\pi }^2}\\ & =\frac{1-(-1{)}^k}{k^2{\pi }^2}\end{array}$

Beispiel (b)

Plot der ungeraden Funktion

$\begin{array}{cc}{c}_0& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-i0\omega t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2}f(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^2(1-t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{(t-\frac{t^2}{2})|}_0^2\\ & =\frac{1}{2}{(2-\frac{2^2}{2}-0+0)|}_0^2\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{c}_k& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2}f(t)e^{-ik\pi t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^2(1-t)e^{-ik\pi t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^2{e}^{-ik\pi t}-t{e}^{-ik\pi t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2}{(\frac{i{e}^{-ik\pi t}}{k\pi }-\frac{(1+ik\pi t)e^{-ik\pi t}}{k^2{\pi }^2})|}_0^2\\ & =\frac{1}{2k^2{\pi }^2}{(ik\pi -1-ik\pi t)e^{-ik\pi t}|}_0^2\\ & =\frac{1}{2k^2{\pi }^2}(ik\pi e^{-ik\pi 2}-e^{-ik\pi 2}-ik\pi 2e^{-ik\pi 2}-ik\pi e^{-ik\pi 0}+e^{-ik\pi 0}+ik\pi 0e^{-ik\pi 0})\\ & =\frac{1}{2k^2{\pi }^2}(ik\pi -1-ik\pi 2-ik\pi +1+0)\\ & =\frac{-ik\pi 2}{2k^2{\pi }^2}\\ & =\frac{-i}{k\pi }\end{array}$