TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 167

Die Funktion $f(t)=1-t$ für $0<t<1$ soll auf dem Intervall $(-1,+1)$ zu einer (a) geraden bzw. (b) ungeraden Funktion erweitert und außerhalb dieses Intervalls mit der Periodenlänge $2$ periodisch fortgesetzt werden. Man ermittle die beiden komplexen Fourierreihen.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

Plot der geraden Funktion

${\begin{aligned}c_{0}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-i0\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}f(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}(1-t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\left.\left(t-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\right|_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left.\left(2-{\frac {2^{2}}{2}}-0+0\right)\right|_{0}^{2}\\&=0\end{aligned}}$