TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 172

Wie lautet die reelle Fourierreihe der Funktion $f(t)=t^{2}/\pi ^{2}$ für $-\pi \leq t\leq \pi$ und $f(t+2\pi )=f(t)$. Können Sie aus dieser Darstellungen die Gültigkeit nachstehender Formeln ableiten?

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

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Lösungsvorschlag

Da $f(t)$ eine gerade Funktion ist, handelt es sich um eine reine Cosinus-Reihe mit

${\begin{aligned}a_{0}&={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos(0*t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {t^{2}}{\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi ^{3}}}\int _{-\pi }^{\pi }t^{2}\,\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {t^{3}}{3\pi ^{3}}}\right|_{-\pi }^{\pi }\\&={\frac {\pi ^{3}-(-\pi )^{3}}{3\pi ^{3}}}\\&={\frac {2}{3}}\\\end{aligned}}$

$-1$