TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 216

Beweisen Sie die beiden Verschiebungssätze

${\mathcal {L}}\left\{e^{-at}f(t)\right\}=F(s+a)$ (s-Verschiebung)

und

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)\sigma (t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$ (t-Verschiebung)

(mit der Sprung- oder Heavisidefunktion $\sigma$).

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

$\sigma (t)={\begin{cases}0&t<0\\1&t\geq 0\end{cases}}$

Lösungsvorschlag

s-Verschiebung

$F(s+a)=\int _{0}^{\infty }e^{-(s+a)t}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-at}e^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t={\mathcal {L}}\left\{e^{-at}f(t)\right\}$

t-Verschiebung

$\tau =t-a$

$\sigma (\tau )=\sigma (t-a)={\begin{cases}0&t<a\\1&t\geq a\end{cases}}$

$f(\tau )\sigma (\tau )=f(t-a)\sigma (t-a)={\begin{cases}0&t<a\\f(t-a)&t\geq a\end{cases}}$

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t-a)\sigma (t-a)\right\}&=\int _{0}^{\infty }f(t-a)\sigma (t-a)e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=\underbrace {\int _{0}^{a}0e^{-st}\,\mathrm {d} t} _{=0}+\int _{a}^{\infty }f(t-a)e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\infty }f(\tau )e^{-s(\tau +a)}\,\mathrm {d} \tau \\&=\int _{0}^{\infty }f(\tau )e^{-s\tau }e^{-sa}\,\mathrm {d} \tau \\&=e^{-sa}\int _{0}^{\infty }f(\tau )e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\&=e^{-sa}F(s)\end{aligned}}$

http://www.youtube.com/watch?v=hvZ6_-ii67g