TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 231

Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung (a) mit Hilfe der Ansatzmethode und (b) mit Hilfe der Laplace-Transformation:

$y'+3y=1-e^{-x}$ ($x\geq 0$).

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösugnsvorschlag

Beispiel (a)

Homogene Lösung

${\begin{aligned}y'+3y&=0\\y'&=-3y\\{\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-3\mathrm {d} x\\\ln y=-3x+{\tilde {C}}\\y_{h}=Ce^{-3x}\end{aligned}}$

1. Störfunktion

$s_{1}(x)=1$

$y_{p1}=A_{1}$

$y'_{p1}=0$

${\begin{aligned}y'_{p1}+3y_{p1}&=s_{1}(x)\\0+3A_{1}&=1\\A_{1}&={\frac {1}{3}}\end{aligned}}$

2. Störfunktion

$s_{2}(x)=e^{-x}$

$y_{p2}=A_{2}e^{-x}$

$y'_{p2}=-A_{2}e^{-x}$

${\begin{aligned}y'_{p2}+3y_{p2}&=s_{2}(x)\\-A_{2}e^{-x}+3A_{2}e^{-x}&=e^{-x}\\2A_{2}&=1\\A_{2}&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Allgemeine Lösung

$y(x)=y_{p1}(x)-y_{p2}(x)+y_{h}(x)={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}e^{-x}+Ce^{-3x}$

Beispiel (b)

Laplace-Transformation

Hilfreiches

${\mathcal {L}}\left\{y'\right\}=sY(s)-y(0)$

${\begin{aligned}sY(s)-y(0)+3Y(s)&={\frac {1}{s}}-{\frac {1}{s+1}}\\Y(s)(s+3)&={\frac {1}{s}}-{\frac {1}{s+1}}+\underbrace {y(0)} _{\tilde {C}}\\Y(s)&={\frac {1}{s(s+3)}}-{\frac {1}{(s+1)(s+3)}}-{\frac {\tilde {C}}{s+3}}\\Y(s)&={\frac {1}{3}}{\frac {1}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {1}{s+3}}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s+3}}+{\frac {\tilde {C}}{s+3}}\\Y(s)&={\frac {1}{3}}{\frac {1}{s}}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s+1}}+\underbrace {\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\tilde {C}}\right)} _{C}{\frac {1}{s+3}}\\Y(s)&={\frac {1}{3}}{\frac {1}{s}}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s+1}}+C{\frac {1}{s+3}}\end{aligned}}$

$y(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{Y(s)\right\}={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}e^{-x}+Ce^{-3x}$

Partialbruchzerlegung

${\begin{aligned}{\frac {1}{s(s+3)}}&={\frac {A}{s}}+{\frac {B}{s+3}}\\1&=A(s+3)+Bs\\1&=(A+B)s+3A\end{aligned}}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=0$ und $3A=1$. Daraus folgt $A={\frac {1}{3}}$ und somit $B=-{\frac {1}{3}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{(s+1)(s+3)}}&={\frac {A}{s+1}}+{\frac {B}{s+3}}\\1&=A(s+3)+B(s+1)\\1&=(A+B)s+3A+B\end{aligned}}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=0$ und $3A+B=1$. Mit $A=-B$ folgt über $3A-A=2A=1$ $A={\frac {1}{2}}$ und somit $B=-{\frac {1}{2}}$

Links

• Diskussion im Forum