TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 358

Man finde die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

$u_t=u_x+2u_y-u_z$.

Welche Lösung erfüllt die Anfangsbedingung $u(x,y,z,0)=x^2+y^2+z^2$ ?

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Lösungsvorschlag

$u_x+2u_y-u_z-u_t=0$

Das charakteristische Differenzialgleichungssystem lautet

$\dot{x}=1$, $\dot{y}=2$, $\dot{z}=-1$, $\dot{t}=-1$

aus dem mensch folgendes System aus Phasen-Differenzialgleichungen erhält:

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-1$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-2$ und $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=1$

Die erste dieser Differenzialgleichung lässt sich durch

$x=-t+c_1$ bzw. $c_1=x+t$

lösen, was auf folgendes erste Integral führt:

${\phi }_1(x,y,z,t)=x+t$

Analog dazu folgen

${\phi }_2(x,y,z,t)=y+2t$ und ${\phi }_3(x,y,z,t)=z-t$

und somit als allgemeine Lösung

$u(x,y,z,t)=F(x+t,y+2t,z-t)$

Durch die Anfangsbedingung $u(x,y,z,0)=x^2+y^2+z^2$ ergibt sich als spezielle Lösung

$\begin{array}{cc}u(x,y,z,t)& =(x+t{)}^2+(y+2t{)}^2+(z-t{)}^2\\ & =x^2+2xt+t^2+y^2+4yt+4t^2+z^2-2zt+t^2\\ & =x^2+y^2+z^2+6t^2+2t(x+2y-z)\end{array}$