TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 365

Eine Funktion $u(x,y)$ heißt homogen vom Grad $n$, falls

$u(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}u(x,y)$

für alle $\lambda >0$ und alle $x$, $y$ gilt. Man zeige: Falls $u$ eine stetig differenzierbare Funktion ist, genügt sie der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

$x{u}_x+y{u}_y=nu$.

Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Gleichung?

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Lösungsvorschlag

Das charakteristische System lautet

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau }=x$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\tau }=y$ und $\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\tau }=n\cdot w$

Daraus ergibt sich

$x=c_1{e}^{\tau }$, $y=c_2{e}^{\tau }$ und $w=c_3{e}^{n\cdot \tau }$

und in weiterer Folge dass

${\phi }_1(x,y)=\frac{x}{y}=\frac{c_1}{c_2}=\text{const}$

gilt, woraus$y=x\frac{c_2}{c_1}$ folgt. Ebenfalls gilt

$w=c_3{\left(\frac{x}{c_1}\right)}^n=c\cdot x^n$

und somit auch

$u(\lambda x,\lambda y)=c\cdot (\lambda x{)}^n={\lambda }^n\cdot c\cdot x^n={\lambda }^n\cdot u(x,y)$

was der Homogenität aus der Angabe entspricht.

Allgemeine Lösung

$x{u}_x+y{u}_y-nu=0$

$a(x,y)=x$

$b(x,y)=y$

$c(x,y)=-n$

$d(x,y)=0$

Die Rumpf-Differenzialgleichung lautet

$x{u}_x+y{u}_y=0$

Daraus folgt das charakteristische Differenzialgleichungssystem

$\dot{x}=x$ und $\dot{y}=y$

welches folgende Phasen-Differenzialgleichung liefert:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}$

Trennung der Variablen liefert sofort die Lösung

$\ln y=\ln x+\tilde{c}$ bzw. $c=\frac{y}{x}$

Daher ist das erste Integral des charakteristischen Differentialgleichungssystem gegeben durch:

${\phi }_1(x,y)=\frac{y}{x}$

Führt man nun die Substitution $\xi (x,y)={\phi }_1(x,y)=\frac{y}{x}$ und das frei gewählte $\eta (x,y)=x$ ein, so erhält man für die Funktion $U(\xi ,\eta )=u(x,y)$ die gewöhnliche Differenzialgleichung

$\begin{array}{cc}(a(x,y){\eta }_x+b(x,y){\eta }_y)U_{\eta }+c(x,y)U+d(x,y)& =0\\ (x{\eta }_x+y{\eta }_y)U_{\eta }-nU+0& =0\\ x{U}_{\eta }-nU& =0\\ U_{\eta }-\frac{nU}{\eta }& =0\end{array}$

Diese Differenzialgleichung liefert:

$\begin{array}{cc}{U}_{\eta }-\frac{nU}{\eta }& =0\\ \frac{U_{\eta }}{U}& =\frac{n}{\eta }\\ \ln U& =n\ln \eta +\tilde{C}\\ U& ={\eta }^n\cdot C(\xi )\end{array}$

Nach dem Rücksubstituieren erhält man dann dann als allgemeine Lösung:

$u(x,y)=x^n\cdot C\left(\frac{y}{x}\right)$