TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 365

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Eine Funktion u(x,y) heißt homogen vom Grad n, falls

\;u(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n u(x,y)

für alle \;\lambda > 0 und alle x, y gilt. Man zeige: Falls u eine stetig differenzierbare Funktion ist, genügt sie der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

\;x u_x + y u_y = n u.

Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Gleichung?

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Das charakteristische System lautet

\frac{\mathrm dx}{\mathrm d\tau} = x, \frac{\mathrm dy}{\mathrm d\tau} = y und \frac{\mathrm dw}{\mathrm d\tau} = n \cdot w

Daraus ergibt sich

x = c_1e^\tau, y = c_2e^\tau und w = c_3e^{n\cdot\tau}

und in weiterer Folge dass

\varphi_1(x,y) = \frac{x}{y} = \frac{c_1}{c_2} = \text{const}

gilt, worausy=x\frac{c_2}{c_1} folgt. Ebenfalls gilt

w = c_3 \left(\frac{x}{c_1}\right)^n = c \cdot x^n

und somit auch

u(\lambda x, \lambda y) = c \cdot (\lambda x)^n = \lambda^n \cdot c \cdot x^n = \lambda^n \cdot u(x, y)

was der Homogenität aus der Angabe entspricht.

Allgemeine Lösung[Bearbeiten]

x u_x + y u_y - n u = 0

a(x,y) = x

b(x,y) = y

c(x,y) = -n

d(x,y) = 0

Die Rumpf-Differenzialgleichung lautet

x u_x + y u_y = 0

Daraus folgt das charakteristische Differenzialgleichungssystem

\dot x = x und \dot y = y

welches folgende Phasen-Differenzialgleichung liefert:

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{y}{x}

Trennung der Variablen liefert sofort die Lösung

\ln y = \ln x + \tilde c bzw. c = \frac{y}{x}

Daher ist das erste Integral des charakteristischen Differentialgleichungssystem gegeben durch:

\varphi_1(x,y) = \frac{y}{x}

Führt man nun die Substitution \xi(x,y) = \varphi_1(x,y) = \frac{y}{x} und das frei gewählte \eta(x,y) = x ein, so erhält man für die Funktion U(\xi,\eta) = u(x,y) die gewöhnliche Differenzialgleichung

\begin{align}
(a(x,y)\eta_x + b(x,y)\eta_y)U_\eta + c(x,y)U + d(x,y) &= 0 \\
(x \eta_x + y \eta_y)U_\eta - nU + 0 &= 0 \\
x U_\eta - nU &= 0 \\
U_\eta - \frac{nU}{\eta} &= 0
\end{align}

Diese Differenzialgleichung liefert:

\begin{align}
U_\eta - \frac{n U}{\eta} &= 0 \\
\frac{U_\eta}{U} &= \frac{n}{\eta} \\
\ln U &= n \ln \eta + \tilde C \\
U &= \eta^n \cdot C(\xi)
\end{align}

Nach dem Rücksubstituieren erhält man dann dann als allgemeine Lösung:

u(x,y) = x^n \cdot C\left(\frac{y}{x}\right)