Eine Funktion heißt homogen vom Grad , falls
für alle und alle , gilt. Man zeige: Falls eine stetig differenzierbare Funktion ist, genügt sie der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung
.
Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Gleichung?
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Das charakteristische System lautet
, und
Daraus ergibt sich
, und
und in weiterer Folge dass
gilt, woraus folgt. Ebenfalls gilt
und somit auch
was der Homogenität aus der Angabe entspricht.
Die Rumpf-Differenzialgleichung lautet
Daraus folgt das charakteristische Differenzialgleichungssystem
und
welches folgende Phasen-Differenzialgleichung liefert:
Trennung der Variablen liefert sofort die Lösung
bzw.
Daher ist das erste Integral des charakteristischen Differentialgleichungssystem gegeben durch:
Führt man nun die Substitution und das frei gewählte ein, so erhält man für die Funktion die gewöhnliche Differenzialgleichung
Diese Differenzialgleichung liefert:
Nach dem Rücksubstituieren erhält man dann dann als allgemeine Lösung: