TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 368

Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden quasilinearen Differentialgleichung für $u=u(x,y)$:

$(x+u)u_{x}+(y+u)u_{y}+u=0$.

Hinweis: Die zugehörigen Phasen-Differentialgleichungen für $x=x(u)$, $y=y(u)$ können durch die Substitution $v={\frac {x}{u}}$ bzw. $v={\frac {y}{u}}$ implizit gelöst werden.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Der Ansatz $f(x,y,u)={\text{const}}$ liefert die Rumpf-Differentialgleichung

$(x+u)f_{x}+(y+u)f_{y}-uf_{u}=0$

mit dem zugehörigem charakteristischen Differenzialgleichungssystem

${\dot {x}}=x+u$, ${\dot {y}}=y+u$ und ${\dot {u}}=-u$

Die entsprechenden Phasen-Differenzialgleichungen liefern

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}=-{\frac {x+u}{u}}$ und ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}=-{\frac {y+u}{u}}$

welche einzeln über die Substitutionen aus der Angabe leicht implizit gelöst werden:

$v={\frac {x}{u}}$, $x=vu$

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} u}}u+v$

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} u}}u+v={\frac {vu+u}{u}}$

... kürzen, Variablen trennen, integrieren, rücksubstituieren, ergibt:

$u^{2}+2xu={\text{const}}$ und $u^{2}+2yu={\text{const}}$

Daher lautet die allgemeine Lösung für diese Differenzialgleichung:

$f(x,y,u)=F(u^{2}+2xu,u^{2}+2yu)={\text{const}}$