TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 54

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Man klassifiziere die folgenden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach hyperbolisch, parabolisch bzw. elliptisch:

(a) \;u_{xx} + 2u_{xy} + u_{yy} + u_x + u_y = 0

(b) \;u_{xx} + 2u_{xy} + 5u_{yy} + u_x + u = 0

(c) \;3u_{xx} - 8u_{xy} + 4u_{yy} - u = 0

(d) \;u_{xy} + xy u_{yy} + u_y = 0

(e) u_{xx} + y u_{yy} + \frac{1}{2} u_y = 0

Hilfreiches[Bearbeiten]

Die quasilineare Differentialgleichung 2.Ordnung

Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} = F

mit Funktionen A=A(x,y,u,u_x,u_y), etc. heißt in einem Gebit D \subseteq \R^2

\begin{align}
\mathbf{hyperbolisch} &\Longleftrightarrow d < 0 \, \forall (x,y) \in D \\
\mathbf{parabolisch} &\Longleftrightarrow d = 0 \, \forall (x,y) \in D \\
\mathbf{elliptisch} &\Longleftrightarrow d > 0 \, \forall (x,y) \in D \\
\end{align}

wobei d=AC - B^2 die Diskriminate der Differenzialgleichung bezeichnet.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Beispiel (a)[Bearbeiten]

u_{xx} + 2u_{xy} + u_{yy} =  -u_x - u_y

\begin{align}d
&= 1 \cdot 1 - 1^2\\
&= 0
\end{align}

Aufgrund von d = 0 ist die Differentialgleichungen parabolisch.

Beispiel (b)[Bearbeiten]

u_{xx} + 2u_{xy} + 5u_{yy} =  -u_x - u

\begin{align}d
&= 1 \cdot 5 - 1^2\\
&= 4
\end{align}

Aufgrund von d > 0 ist die Differentialgleichungen elliptisch.

Beispiel (c)[Bearbeiten]

3u_{xx} - 8u_{xy} + 4u_{yy} =  u

\begin{align}d
&= 3 \cdot 4 - 4^2\\
&= -4
\end{align}

Aufgrund von d < 0 ist die Differentialgleichungen hyperbolisch.

Beispiel (d)[Bearbeiten]

u_{xy} + xy u_{yy} = -u_y

\begin{align}d
&= 0 \cdot xy - \left(\frac{1}{2}\right)^2\\
&= -\frac{1}{4}
\end{align}

Aufgrund von d < 0 ist die Differentialgleichungen hyperbolisch.

Beispiel (e)[Bearbeiten]

u_{xx} + y u_{yy} = -\frac{1}{2} u_y

\begin{align}d
&= 1 \cdot y - 0^2\\
&= y
\end{align}

Da d = y ist, kann die Differentialgleichungen nur abhängig von y klassifiziert werden.