TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 54

Man klassifiziere die folgenden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach hyperbolisch, parabolisch bzw. elliptisch:

(a) $\;u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}+u_{x}+u_{y}=0$

(b) $\;u_{xx}+2u_{xy}+5u_{yy}+u_{x}+u=0$

(c) $\;3u_{xx}-8u_{xy}+4u_{yy}-u=0$

(d) $\;u_{xy}+xyu_{yy}+u_{y}=0$

(e) $u_{xx}+yu_{yy}+{\frac {1}{2}}u_{y}=0$

Hilfreiches

Die quasilineare Differentialgleichung 2.Ordnung

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}=F$

mit Funktionen $A=A(x,y,u,u_{x},u_{y})$, etc. heißt in einem Gebit $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{aligned}\mathbf {hyperbolisch} &\Longleftrightarrow d<0\,\forall (x,y)\in D\\\mathbf {parabolisch} &\Longleftrightarrow d=0\,\forall (x,y)\in D\\\mathbf {elliptisch} &\Longleftrightarrow d>0\,\forall (x,y)\in D\\\end{aligned}}$

wobei $d=AC-B^{2}$ die Diskriminate der Differenzialgleichung bezeichnet.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}=-u_{x}-u_{y}$

${\begin{aligned}d&=1\cdot 1-1^{2}\\&=0\end{aligned}}$

Aufgrund von $d=0$ ist die Differentialgleichungen parabolisch.

Beispiel (b)

$u_{xx}+2u_{xy}+5u_{yy}=-u_{x}-u$

${\begin{aligned}d&=1\cdot 5-1^{2}\\&=4\end{aligned}}$

Aufgrund von $d>0$ ist die Differentialgleichungen elliptisch.

Beispiel (c)

$3u_{xx}-8u_{xy}+4u_{yy}=u$

${\begin{aligned}d&=3\cdot 4-4^{2}\\&=-4\end{aligned}}$

Aufgrund von $d<0$ ist die Differentialgleichungen hyperbolisch.

Beispiel (d)

$u_{xy}+xyu_{yy}=-u_{y}$

${\begin{aligned}d&=0\cdot xy-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {1}{4}}\end{aligned}}$

Aufgrund von $d<0$ ist die Differentialgleichungen hyperbolisch.

Beispiel (e)

$u_{xx}+yu_{yy}=-{\frac {1}{2}}u_{y}$

${\begin{aligned}d&=1\cdot y-0^{2}\\&=y\end{aligned}}$

Da $d=y$ ist, kann die Differentialgleichungen nur abhängig von $y$ klassifiziert werden.