TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 55

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Mit Hilfe eines Produktansatzes bestimme man Lösungen der folgenden partiellen Differentialgleichung:

x^2u_{xy} + 3y^2u = 0

Hilfreiches[Bearbeiten]

Vorlage:Produktansatz

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\begin{align}
x^2 X'Y' + 3y^2 XY &= 0 \\
x^2 X'Y' &= - 3y^2 XY \\
x^2 \frac{X'}{X} &= - 3y^2 \frac{Y}{Y'} = \lambda \\
\end{align}

Für die x-Seite ergibt das

\begin{align}
x^2 \frac{X'}{X} &= \lambda \\ 
\frac{X'}{X} &= \lambda \frac{1}{x^2} \\ 
\ln |X| &= -\lambda \frac{1}{x} + C_1 \\ 
X &= C_1 \cdot e^{-\frac{\lambda}{x}}
\end{align}

für die y-Seite

\begin{align}
\lambda &= - 3y^2 \frac{Y}{Y'} \\ 
\frac{Y'}{Y} &= \frac{-3}{\lambda}y^2 \\ 
\ln |Y| &= - \frac{1}{\lambda}y^3 + C_2 \\
Y &= C_2 \cdot e^{-\frac{1}{\lambda}y^3}
\end{align}

und in Gesamt:

\begin{align}u(x,y)
&= X \cdot Y \\
&= C_1 \cdot e^{-\frac{\lambda}{x}} \cdot C_2 \cdot e^{-\frac{1}{\lambda}y^3} \\
&= C \cdot e^{-\frac{\lambda}{x} - \frac{y^3}{\lambda}} \\
\end{align}