TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 216

Beweisen Sie die beiden Verschiebungssätze

$ℒ\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a)$ (s-Verschiebung)

und

$ℒ\{f(t-a)\sigma (t-a)\}=e^{-as}F(s)$ (t-Verschiebung)

(mit der Sprung- oder Heavisidefunktion $\sigma$).

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

$\sigma (t)=\{\begin{array}{cc}0& t<0\\ 1& t\ge 0\end{array}$

Lösungsvorschlag

s-Verschiebung

$F(s+a)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(s+a)t}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-at}{e}^{-st}f(t)\mathrm{d}t=ℒ\{e^{-at}f(t)\}$

t-Verschiebung

$\tau =t-a$

$\sigma (\tau )=\sigma (t-a)=\{\begin{array}{cc}0& t<a\\ 1& t\ge a\end{array}$

$f(\tau )\sigma (\tau )=f(t-a)\sigma (t-a)=\{\begin{array}{cc}0& t<a\\ f(t-a)& t\ge a\end{array}$

$\begin{array}{cc}ℒ\{f(t-a)\sigma (t-a)\}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t-a)\sigma (t-a)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & =\underset{=0}{\underbrace{{\int }_0^{a}0e^{-st}\mathrm{d}t}}+{\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(t-a)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s(\tau +a)}\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }{e}^{-sa}\mathrm{d}\tau \\ & =e^{-sa}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(\tau )e^{-s\tau }\mathrm{d}\tau \\ & =e^{-sa}F(s)\end{array}$

http://www.youtube.com/watch?v=hvZ6_-ii67g