TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 54

Man klassifiziere die folgenden partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung nach hyperbolisch, parabolisch bzw. elliptisch:

(a) $u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}+u_x+u_y=0$

(b) $u_{xx}+2u_{xy}+5u_{yy}+u_x+u=0$

(c) $3u_{xx}-8u_{xy}+4u_{yy}-u=0$

(d) $u_{xy}+xy{u}_{yy}+u_y=0$

(e) $u_{xx}+y{u}_{yy}+\frac{1}{2}{u}_y=0$

Hilfreiches

Die quasilineare Differentialgleichung 2.Ordnung

$A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}=F$

mit Funktionen $A=A(x,y,u,u_x,u_y)$, etc. heißt in einem Gebit $D\subseteq {ℝ}^2$

$\begin{array}{cc}𝐡𝐲𝐩𝐞𝐫𝐛𝐨𝐥𝐢𝐬𝐜𝐡& ⟺d<0\mathrm{\forall }(x,y)\in D\\ 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐛𝐨𝐥𝐢𝐬𝐜𝐡& ⟺d=0\mathrm{\forall }(x,y)\in D\\ 𝐞𝐥𝐥𝐢𝐩𝐭𝐢𝐬𝐜𝐡& ⟺d>0\mathrm{\forall }(x,y)\in D\\ \end{array}$

wobei $d=AC-B^2$ die Diskriminate der Differenzialgleichung bezeichnet.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}=-u_x-u_y$

$\begin{array}{cc}d& =1\cdot 1-1^2\\ & =0\end{array}$

Aufgrund von $d=0$ ist die Differentialgleichungen parabolisch.

Beispiel (b)

$u_{xx}+2u_{xy}+5u_{yy}=-u_x-u$

$\begin{array}{cc}d& =1\cdot 5-1^2\\ & =4\end{array}$

Aufgrund von $d>0$ ist die Differentialgleichungen elliptisch.

Beispiel (c)

$3u_{xx}-8u_{xy}+4u_{yy}=u$

$\begin{array}{cc}d& =3\cdot 4-4^2\\ & =-4\end{array}$

Aufgrund von $d<0$ ist die Differentialgleichungen hyperbolisch.

Beispiel (d)

$u_{xy}+xy{u}_{yy}=-u_y$

$\begin{array}{cc}d& =0\cdot xy-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ & =-\frac{1}{4}\end{array}$

Aufgrund von $d<0$ ist die Differentialgleichungen hyperbolisch.

Beispiel (e)

$u_{xx}+y{u}_{yy}=-\frac{1}{2}{u}_y$

$\begin{array}{cc}d& =1\cdot y-0^2\\ & =y\end{array}$

Da $d=y$ ist, kann die Differentialgleichungen nur abhängig von $y$ klassifiziert werden.