TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 55

Mit Hilfe eines Produktansatzes bestimme man Lösungen der folgenden partiellen Differentialgleichung:

$x^{2}u_{xy}+3y^{2}u=0$

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}x^{2}X'Y'+3y^{2}XY&=0\\x^{2}X'Y'&=-3y^{2}XY\\x^{2}{\frac {X'}{X}}&=-3y^{2}{\frac {Y}{Y'}}=\lambda \\\end{aligned}}$

Für die $x$-Seite ergibt das

${\begin{aligned}x^{2}{\frac {X'}{X}}&=\lambda \\{\frac {X'}{X}}&=\lambda {\frac {1}{x^{2}}}\\\ln |X|&=-\lambda {\frac {1}{x}}+C_{1}\\X&=C_{1}\cdot e^{-{\frac {\lambda }{x}}}\end{aligned}}$

für die $y$-Seite

${\begin{aligned}\lambda &=-3y^{2}{\frac {Y}{Y'}}\\{\frac {Y'}{Y}}&={\frac {-3}{\lambda }}y^{2}\\\ln |Y|&=-{\frac {1}{\lambda }}y^{3}+C_{2}\\Y&=C_{2}\cdot e^{-{\frac {1}{\lambda }}y^{3}}\end{aligned}}$

und in Gesamt:

${\begin{aligned}u(x,y)&=X\cdot Y\\&=C_{1}\cdot e^{-{\frac {\lambda }{x}}}\cdot C_{2}\cdot e^{-{\frac {1}{\lambda }}y^{3}}\\&=C\cdot e^{-{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {y^{3}}{\lambda }}}\\\end{aligned}}$