TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 55

Mit Hilfe eines Produktansatzes bestimme man Lösungen der folgenden partiellen Differentialgleichung:

$x^2{u}_{xy}+3y^{2}u=0$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{x}^2{X}^{\prime }{Y}^{\prime }+3y^{2}XY& =0\\ x^2{X}^{\prime }{Y}^{\prime }& =-3y^{2}XY\\ x^2\frac{X^{\prime }}{X}& =-3y^2\frac{Y}{Y^{\prime }}=\lambda \\ \end{array}$

Für die $x$-Seite ergibt das

$\begin{array}{cc}{x}^2\frac{X^{\prime }}{X}& =\lambda \\ \frac{X^{\prime }}{X}& =\lambda \frac{1}{x^2}\\ \ln |X|& =-\lambda \frac{1}{x}+C_1\\ X& =C_1\cdot e^{-\frac{\lambda }{x}}\end{array}$

für die $y$-Seite

$\begin{array}{cc}\lambda & =-3y^2\frac{Y}{Y^{\prime }}\\ \frac{Y^{\prime }}{Y}& =\frac{-3}{\lambda }{y}^2\\ \ln |Y|& =-\frac{1}{\lambda }{y}^3+C_2\\ Y& =C_2\cdot e^{-\frac{1}{\lambda }{y}^3}\end{array}$

und in Gesamt:

$\begin{array}{cc}u(x,y)& =X\cdot Y\\ & =C_1\cdot e^{-\frac{\lambda }{x}}\cdot C_2\cdot e^{-\frac{1}{\lambda }{y}^3}\\ & =C\cdot e^{-\frac{\lambda }{x}-\frac{y^3}{\lambda }}\\ \end{array}$