TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 416

Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Weltbevölkerung (in Milliarden) seit dem Jahr 1950 wieder:

Jahr t	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Bevölkerung f(t)	2.53	3.04	3.70	4.45	5.31	6.12	6.90

Man finde eine Trendfunktion der Form $g(t)=c\cdot e^{at}$ und extrapoliere die Bevölkerungszahl für das Jahr 2020.

(Hinweis: Man bestimme die Ausgleichsgerade für die Wertepaare $(t,\ln g(t))$ nach der Methode der kleinsten Quadrate.)

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösungsvorschlag

Jahr $t_i$	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Bevölkerung $f(t_i)$	2.53	3.04	3.70	4.45	5.31	6.12	6.90
$y=\ln f(t_i)$	0.928219303	1.111857515	1.30833282	1.492904096	1.669591835	1.811562097	1.931521412
Zwischenwerte:
$t_i^2$	3802500	3841600	3880900	3920400	3960100	4000000	4040100
$t_i\cdot y_i$	1810.02764	2179.24073	2577.415655	2955.95011	3322.487752	3623.124193	3882.358037

$\begin{array}{cc}\sum t_i^2& =27445600\\ \sum (t_i\cdot y_i)& =20350.60412\\ n& =7\\ \bar{t}& =1980\\ \overline{t^2}& =3920800\\ \bar{y}& =1.464855582\\ n\cdot \bar{t}\cdot \bar{y}& =20302.89837\\ n\cdot {\bar{t}}^2& =27442800\\ a& =\frac{\sum (t_i\cdot y_i)-n\cdot \bar{t}\cdot \bar{y}}{\sum t_i^2-n\cdot {\bar{t}}^2}=0.017037766\\ \ln c& =\bar{y}-a\cdot \bar{t}=-32.26992127\\ ln(e^x)& =x\iff c=e^{-32.26992127}\\ g(t)& =c\cdot e^{at}=e^{at+\ln c}=e^{0.017037766t-32.26992127}\\ g(2020)& =8.553719572\end{array}$

Links

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• TU Wien:Mathematik 1/2/3 UE (diverse)/Lösungssammlung für Buchbeispiele/Kapitel 9 Numerische Mathematik/9.12 (ähnliches Beispiel)