TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 428

Mit Hilfe der (a) Sehnentrapezformel, (b) Simpsonschen Regel berechne man näherungsweise $\pi$ aus der Gleichung

$\frac{\pi }{4}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$.

Dabei verwende man eine Unterteilung des Integrationsintervalls bei (a) in 2, 5 und 10 Teilintervalle, bei (b) in 10 Teilintervalle.

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Sehnentrapezformel

2 Teilintervalle

Die äquidistanten Stützstellen sind:
$x_0=0,x_1=0.5,x_2=1$

Die Werte der Funktion an dieser Stelle sind:
$y_i=\frac{1}{1+x_i^2}⟹y_0=1,y_1=0.8,y_2=0.5$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}& =\frac{1}{4}(1+2\cdot 0.8+0.5)\\ \pi & =1.5+1.6=3.1\end{array}$

5 Teilintervalle

Die äquidistanten Stützstellen sind:
$x_0=0,x_1=0.2,x_2=0.4,x_3=0.6,x_4=0.8,x_5=1$

Die Werte der Funktion an dieser Stelle sind:
$y_i=\frac{1}{1+x_i^2}⟹y_0=1,y_1=0.9615,y_2=0.862,y_3=0.7353,y_4=0.6098,y_5=0.5$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}& =\frac{1}{10}(1+2\cdot 0.9615+2\cdot 0.862+\dots +0.5)\\ \frac{\pi }{4}& =\frac{1}{10}\cdot 7.8372\\ \pi & =0.78372\cdot 4=3.13488\end{array}$

10 Teilintervalle

Die äquidistanten Stützstellen sind:
$x_0=0,x_1=0.1,\dots ,x_9=0.9,x_{10}=1$

Die Werte der Funktion an dieser Stelle sind:
$y_i=\frac{1}{1+x_i^2}⟹y_0=1,y_1=0.9901,y_2=0.9615,y_3=0.9174,y_4=0.862,y_5=0.8,$
$y_6=0.7353,y_7=0.6711,y_8=0.6098,y_9=0.5524,y_{10}=0.5$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}& =\frac{1}{20}(1+2\cdot 0.9901+2\cdot 0.9615+\dots +0.5)\\ \pi & =\frac{1}{5}\cdot 15.6992=3.13984\end{array}$

Simpson'sche Regel

10 Teilintervalle

Stützstellen und Werte wie oben.

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}& =\frac{1}{30}(1+4\cdot 0.9901+2\cdot 0.9615+4\cdot 0.9175+\dots +4\cdot 0.5524+0.5)\\ \frac{\pi }{4}& =\frac{1}{30}\cdot 23.5612\\ \pi & =3.141493\end{array}$

Referenzen

Buch Seite: 410 ff