TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 107

Gegeben ist ein Kegel mit Höhe h und Basiskreisradius r. Berechnen Sie die Mantelfläche, indem Sie den Kegel als Rotationskörper interpretieren.

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Lösungsvorschlag

Eine Gerade die durch den Koordinatenursprung verläuft und sich um die x-Achse dreht, bildet einen Kegel.

Die Gerade können wir mittels ihren Anstieg beschreiben, also: $f(x)=\alpha x$, mit $\alpha ={\frac {r}{h}}$

Es gilt außerdem $s^{2}=r^{2}+h^{2}$ (Wird für die Herleitung von $M=\pi rs$ benötigt.)

Nun setzen wir diese Funktion in der Formel zur Berechnung von Mantelflächen von Rotationskörpern (siehe Mathematik für Informatik S.258)

${\begin{aligned}&M=2\pi \int _{x=0}^{x=h}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx&=2\pi \int _{0}^{h}\alpha x{\sqrt {1+((\alpha x)')^{2}}}\,dx\\&=2\pi \alpha {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}\int _{0}^{h}x\,dx\\&=2\pi \alpha {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{\frac {h^{2}}{2}}\\&=\pi {\frac {r}{h}}h^{2}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}\\&=\pi rh{\sqrt {1+{\frac {r^{2}}{h^{2}}}}}\\&=\pi rh{\sqrt {\frac {h^{2}+r^{2}}{h^{2}}}}=\pi rs\end{aligned}}$