TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 231

Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung (a) mit Hilfe der Ansatzmethode und (b) mit Hilfe der Laplace-Transformation:

$y^{\prime }+3y=1-e^{-x}$ ($x\ge 0$).

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösugnsvorschlag

Beispiel (a)

Homogene Lösung

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }+3y& =0\\ y^{\prime }& =-3y\\ \frac{\mathrm{d}y}{y}=-3\mathrm{d}x\\ \ln y=-3x+\tilde{C}\\ y_h=C{e}^{-3x}\end{array}$

1. Störfunktion

$s_1(x)=1$

$y_{p1}=A_1$

$y{\text{'}}_{p1}=0$

$\begin{array}{cc}y{\text{'}}_{p1}+3y_{p1}& =s_1(x)\\ 0+3A_1& =1\\ A_1& =\frac{1}{3}\end{array}$

2. Störfunktion

$s_2(x)=e^{-x}$

$y_{p2}=A_2{e}^{-x}$

$y{\text{'}}_{p2}=-A_2{e}^{-x}$

$\begin{array}{cc}y{\text{'}}_{p2}+3y_{p2}& =s_2(x)\\ -A_2{e}^{-x}+3A_2{e}^{-x}& =e^{-x}\\ 2A_2& =1\\ A_2& =\frac{1}{2}\end{array}$

Allgemeine Lösung

$y(x)=y_{p1}(x)-y_{p2}(x)+y_h(x)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}{e}^{-x}+C{e}^{-3x}$

Beispiel (b)

Laplace-Transformation

Hilfreiches

$ℒ\left\{y^{\prime }\right\}=sY(s)-y(0)$

$\begin{array}{cc}sY(s)-y(0)+3Y(s)& =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\\ Y(s)(s+3)& =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}+\underset{\tilde{C}}{\underbrace{y(0)}}\\ Y(s)& =\frac{1}{s(s+3)}-\frac{1}{(s+1)(s+3)}-\frac{\tilde{C}}{s+3}\\ Y(s)& =\frac{1}{3}\frac{1}{s}-\frac{1}{3}\frac{1}{s+3}-\frac{1}{2}\frac{1}{s+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{s+3}+\frac{\tilde{C}}{s+3}\\ Y(s)& =\frac{1}{3}\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\frac{1}{s+1}+\underset{C}{\underbrace{(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\tilde{C})}}\frac{1}{s+3}\\ Y(s)& =\frac{1}{3}\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\frac{1}{s+1}+C\frac{1}{s+3}\end{array}$

$y(x)={ℒ}^{-1}\{Y(s)\}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}{e}^{-x}+C{e}^{-3x}$

Partialbruchzerlegung

$\begin{array}{cc}\frac{1}{s(s+3)}& =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}\\ 1& =A(s+3)+Bs\\ 1& =(A+B)s+3A\end{array}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=0$ und $3A=1$. Daraus folgt $A=\frac{1}{3}$ und somit $B=-\frac{1}{3}$

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(s+1)(s+3)}& =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}\\ 1& =A(s+3)+B(s+1)\\ 1& =(A+B)s+3A+B\end{array}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=0$ und $3A+B=1$. Mit $A=-B$ folgt über $3A-A=2A=1$ $A=\frac{1}{2}$ und somit $B=-\frac{1}{2}$

Links

• Diskussion im Forum