TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 111

Zeigen Sie, dass die Funktion $\overrightarrow{x}:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$ gemäß

$\overrightarrow{x}(\theta ,\phi )=\left(\begin{array}{c}x(\theta ,\phi )\\ y(\theta ,\phi )\\ z(\theta ,\phi )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(R+r\cos \theta )\cos \phi \\ (R+r\cos \theta )\sin \phi \\ r\sin \theta \end{array}\right)$ mit $0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le 2\pi$

als Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen werden kann. Erklären Sie diese Darstellung anhand einer geeigneten Skizze. Wie lautet die Jakobi-Matrix dieser Funktion?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Parametrisierung der Oberfläche eines Torus

Die Oberfläche eines Torus kann man mit Hilfe von zwei Kreisen konstruieren. Einen Basiskreis mit dem Radius $R$ (linkes Bild) und einen kleineren Kreis mit Radius $r$ den man um den Basiskreis rotieren lässt (rechtes Bild, Querschnitt der links als rote Linie dargestellt ist).

Zuerst erfasst man alle Punkte der xy-Ebene: Dies ist eine 2-Dimensionelle Ring-Fläche mit dem variablen Radius $\tilde{R}$. Parametrisiert erfasst man also alle Koordinaten der x- und y-Achse durch:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\tilde{R}\cdot cos\phi \\ \tilde{R}\cdot sin\phi \end{array}\right)$

Übrig bleibt der Wert an der z-Achse. Er ergibt sich aus $r$ und dem Winkel $\theta$:

$z=r\cdot sin\theta$

Zusammengefasst:

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\tilde{R}\cdot cos\phi \\ \tilde{R}\cdot sin\phi \\ r\cdot sin\theta \end{array}\right)$

$\tilde{R}$ ist abhängig von der Projektion $r_p$ des Radius $r$ auf die y-Achse , der wiederum ist abhängig vom Winkel $\theta$:

$\tilde{R}(r_p(\theta ))=R+r_p(\theta )=R+r\cdot cos(\theta )$

Eingesetzt ergibt das:

$\left(\begin{array}{c}x(\theta ,\phi )\\ y(\theta ,\phi )\\ z(\theta ,\phi )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(R+r\cos \theta )\cos \phi \\ (R+r\cos \theta )\sin \phi \\ r\sin \theta \end{array}\right)$

Jakobi-Matrix dieser Funktion

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x(\theta ,\phi )}{\partial \theta }& \frac{\partial x(\theta ,\phi )}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y(\theta ,\phi )}{\partial \theta }& \frac{\partial y(\theta ,\phi )}{\partial \phi }\\ \frac{\partial z(\theta ,\phi )}{\partial \theta }& \frac{\partial z(\theta ,\phi )}{\partial \phi }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-r\sin \theta \cos \phi & -(R+r\cos \theta )\sin \phi \\ -r\sin \theta \sin \phi & (R+r\cos \theta )\cos \phi \\ rcos\theta & 0\end{array}\right)$

Links

• Datei:TU Wien-Analysis 2 UE (diverse)-Übungen SS13-Beispiel 4 - Beispiel 4.pdf (Lösung aus SS2013)