TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 111

Zeigen Sie, dass die Funktion ${\vec {x}}:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ gemäß

${\vec {x}}(\theta ,\varphi )={\begin{pmatrix}x(\theta ,\varphi )\\y(\theta ,\varphi )\\z(\theta ,\varphi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+r\cos \theta )\cos \varphi \\(R+r\cos \theta )\sin \varphi \\r\sin \theta \end{pmatrix}}$ mit $0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq \varphi \leq 2\pi$

als Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen werden kann. Erklären Sie diese Darstellung anhand einer geeigneten Skizze. Wie lautet die Jakobi-Matrix dieser Funktion?

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Lösungsvorschlag

Parametrisierung der Oberfläche eines Torus

Die Oberfläche eines Torus kann man mit Hilfe von zwei Kreisen konstruieren. Einen Basiskreis mit dem Radius $R$ (linkes Bild) und einen kleineren Kreis mit Radius $r$ den man um den Basiskreis rotieren lässt (rechtes Bild, Querschnitt der links als rote Linie dargestellt ist).

Zuerst erfasst man alle Punkte der xy-Ebene: Dies ist eine 2-Dimensionelle Ring-Fläche mit dem variablen Radius ${\tilde {R}}$. Parametrisiert erfasst man also alle Koordinaten der x- und y-Achse durch:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tilde {R}}\cdot cos\varphi \\{\tilde {R}}\cdot sin\varphi \end{pmatrix}}$

Übrig bleibt der Wert an der z-Achse. Er ergibt sich aus $r$ und dem Winkel $\theta$:

$z=r\cdot sin\theta$

Zusammengefasst:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tilde {R}}\cdot cos\varphi \\{\tilde {R}}\cdot sin\varphi \\r\cdot sin\theta \end{pmatrix}}$

${\tilde {R}}$ ist abhängig von der Projektion $r_{p}$ des Radius $r$ auf die y-Achse , der wiederum ist abhängig vom Winkel $\theta$:

${\tilde {R}}(r_{p}(\theta ))=R+r_{p}(\theta )=R+r\cdot cos(\theta )$

Eingesetzt ergibt das:

${\begin{pmatrix}x(\theta ,\varphi )\\y(\theta ,\varphi )\\z(\theta ,\varphi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+r\cos \theta )\cos \varphi \\(R+r\cos \theta )\sin \varphi \\r\sin \theta \end{pmatrix}}$

Jakobi-Matrix dieser Funktion

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial x(\theta ,\varphi )}{\partial \theta }}&{\frac {\partial x(\theta ,\varphi )}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y(\theta ,\varphi )}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y(\theta ,\varphi )}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial z(\theta ,\varphi )}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z(\theta ,\varphi )}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-r\sin {\theta }\cos {\varphi }&-(R+r\cos {\theta })\sin {\varphi }\\-r\sin {\theta }\sin {\varphi }&(R+r\cos {\theta })\cos {\varphi }\\rcos\theta &0\\\end{pmatrix}}$

Links

• Datei:TU Wien-Analysis 2 UE (diverse)-Übungen SS13-Beispiel 4 - Beispiel 4.pdf (Lösung aus SS2013)