TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 150

Unter Zuhilfenahme der Moivre'schen Formel finde man eine Darstellung für die Funktionen

${\cos }^{2}t$, ${\sin }^{2}t$, ${\cos }^{3}t$, ${\sin }^{3}t$, ${\cos }^{4}t$, ${\sin }^{4}t$

als trigonometrische Polynome der Periode $2\pi$.

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Hilfreiches

Moivre'sche Formel

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

${\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi =1$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}\cos (2t)+i\sin (2t)& =(\cos (t)+i\sin (t){)}^2\\ & ={\cos }^2(t)+2\cos (t)i\sin (t)-{\sin }^2(t)\\ & =({\cos }^2(t)-{\sin }^2(t))+i(2\cos (t)\sin (t))\end{array}$

Daraus folgt mittels Koeffizentenvergleich für Kosinus

$\begin{array}{cc}\cos (2t)& ={\cos }^2(t)-{\sin }^2(t)\\ \cos (2t)& ={\cos }^2(t)-(1-{\cos }^2(t))\\ 2{\cos }^2(t)& =1+\cos (2t)\\ {\cos }^2(t)& =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2t)\end{array}$

und für Sinus

$\begin{array}{cc}\cos (2t)& ={\cos }^2(t)-{\sin }^2(t)\\ \cos (2t)& =(1-{\sin }^2(t))-{\sin }^2(t)\\ 2{\sin }^2(t)& =1-\cos (2t)\\ {\sin }^2(t)& =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2t)\end{array}$

(WolframAlpha)

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$\begin{array}{cc}\cos (3t)+i\sin (3t)& =(\cos (t)+i\sin (t){)}^3\\ & ={\cos }^3(t)+3{\cos }^2(t)i\sin (t)-3\cos (t){\sin }^2(t)-i{\sin }^3(t)\\ & =({\cos }^3(t)-3\cos (t){\sin }^2(t))+i(3{\cos }^2(t)\sin (t)-{\sin }^3(t))\end{array}$

Daraus folgt mittels Koeffizentenvergleich für Kosinuns

$\begin{array}{cc}\cos (3t)& ={\cos }^3(t)-3\cos (t){\sin }^2(t)\\ \cos (3t)& ={\cos }^3(t)-3\cos (t)(1-{\cos }^2(t))\\ \cos (3t)& ={\cos }^3(t)-3\cos (t)+3{\cos }^3(t))\\ 4{\cos }^3(t)& =3\cos (t)+\cos (3t)\\ {\cos }^3(t)& =\frac{3}{4}\cos (t)+\frac{1}{4}\cos (3t)\end{array}$

und für Sinus

$\begin{array}{cc}\sin (3t)& =3{\cos }^2(t)\sin (t)-{\sin }^3(t)\\ \sin (3t)& =3(1-{\sin }^2(t))\sin (t)-{\sin }^3(t)\\ \sin (3t)& =3\sin (t)-3{\sin }^3(t)-{\sin }^3(t)\\ 4{\sin }^3(t)& =3\sin (t)-\sin (3t)\\ {\sin }^3(t)& =\frac{3}{4}\sin (t)-\frac{1}{4}\sin (3t)\end{array}$

---

$\begin{array}{cc}\cos (4t)+i\sin (4t)& =(\cos (t)+i\sin (t){)}^4\\ & ={\cos }^4(t)+4{\cos }^3(t)i\sin (t)-6{\cos }^2(t){\sin }^2(t)-4\cos (t)i{\sin }^3(t)+{\sin }^4(t)\\ & =({\cos }^4(t)-6{\cos }^2(t){\sin }^2(t)+{\sin }^4(t))+i(4{\cos }^3(t)\sin (t)-4\cos (t){\sin }^3(t))\end{array}$

Daraus folgt mittels Koeffizentenvergleich für Kosinuns

$\begin{array}{cc}\cos (4t)& ={\cos }^4(t)-6{\cos }^2(t){\sin }^2(t)+{\sin }^4(t)\\ \cos (4t)& ={\cos }^4(t)-6{\cos }^2(t)(1-{\cos }^2(t))+(1-{\cos }^2(t){)}^2\\ \cos (4t)& ={\cos }^4(t)-6{\cos }^2(t)+6{\cos }^4(t)+1-2{\cos }^2(t)+{\cos }^4(t)\\ \cos (4t)& =8{\cos }^4(t)-8{\cos }^2(t)+1\\ 8{\cos }^4(t)& =8{\cos }^2(t)+\cos (4t)-1\\ 8{\cos }^4(t)& =8(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2t))+\cos (4t)-1\\ 8{\cos }^4(t)& =3+4\cos (2t)+\cos (4t)\\ {\cos }^4(t)& =\frac{3}{8}+\frac{4}{8}\cos (2t)+\frac{1}{8}\cos (4t)\end{array}$

und für Sinus

$\begin{array}{cc}\cos (4t)& ={\cos }^4(t)-6{\cos }^2(t){\sin }^2(t)+{\sin }^4(t)\\ \cos (4t)& =(1-{\sin }^2(t){)}^2-6(1-{\sin }^2(t)){\sin }^2(t)+{\sin }^4(t)\\ \cos (4t)& =1-2{\sin }^2(t)+{\sin }^4(t)-6{\sin }^2(t)+6{\sin }^4(t)+{\sin }^4(t)\\ \cos (4t)& =8{\sin }^4(t)-8{\sin }^2(t)+1\\ 8{\sin }^4(t)& =8{\sin }^2(t)+\cos (4t)-1\\ 8{\sin }^4(t)& =8(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2t))+\cos (4t)-1\\ 8{\sin }^4(t)& =3-4\cos (2t)+\cos (4t)\\ {\sin }^4(t)& =\frac{3}{8}-\frac{4}{8}\cos (2t)+\frac{1}{8}\cos (4t)\end{array}$