TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 156

Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe der $2\pi$-periodischen Funktion

$f(t)=t^2$,$0⩽t<2\pi$, $2\pi$-periodisch fortgesetzt.

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Hilfreiches

Die Fourier-Reihe ist definiert als: $\begin{array}{c}{S}_f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}cos(nt\omega )+b_{n}sin(nt\omega )\end{array}$

Lösungsvorschlag von Fotsirk

Die Periode $T_p$ ist $2\pi$, daher ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega =1$
$a_n$ berechnen:
$\begin{array}{cc}{a}_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{t}^{2}cos(nt)dt\\ \end{array}$
Wenn wir zweimal partiell Integrieren erhalten wir:
$\begin{array}{c}\\ & =\frac{1}{\pi }[t^2\frac{sin(nt)}{n}+2t\frac{cos(nt)}{n^2}-2\frac{sin(nt)}{n^3}]{|}_0^{2\pi }\\ \end{array}$
Die Terme, wo sin vorkommt müssen wir nicht auswerten, da sie 0 sind (sin von 0 und $2\pi$ ergeben 0)
$\begin{array}{c}\\ & =\frac{1}{\pi }[2t\frac{cos(nt)}{n^2}]{|}_0^{2\pi }\\ & =\frac{1}{\pi }[2\ast 2\pi \frac{cos(n2\pi )}{n^2}-2\ast 0\frac{cos(n0)}{n^2}]\\ & =\frac{4\pi }{\pi n^2}=\frac{4}{n^2}\\ \end{array}$

$b_n$ berechnen:
$\begin{array}{cc}{b}_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{t}^{2}cos(nt)dt\\ \end{array}$
Wenn wir zweimal partiell Integrieren erhalten wir:
$\begin{array}{c}\\ & =\frac{1}{\pi }[-t^2\frac{cos(nt)}{n}+2t\frac{sin(nt)}{n^2}+2\frac{cos(nt)}{n^3}]{|}_0^{2\pi }\\ \end{array}$
Die Terme, wo sin vorkommt müssen wir nicht auswerten, da sie 0 sind (sin von 0 und $2\pi$ ergeben 0)
$\begin{array}{c}\\ & =\frac{1}{\pi }[-t^2\frac{cos(nt)}{n}+2\frac{cos(nt)}{n^3}]{|}_0^{2\pi }\\ & =\frac{1}{\pi }[-4{\pi }^2\frac{cos(n2\pi )}{n}+0^2\frac{cos(n2\ast 0)}{n}]+[2\frac{cos(n2\pi )}{n^3}-2\frac{cos(n\ast 0)}{n^3}]\\ & =\frac{1}{\pi }[-4{\pi }^2\frac{1}{n}]+[2-2]=-\frac{4\pi }{n}\\ \end{array}$
$a_0$ berechnen:
$\begin{array}{c}\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{t}^{2}dt\\ & =\frac{1}{\pi }[\frac{t^3}{3}]{|}_0^{2\pi }\\ & =\frac{1}{\pi }\frac{8{\pi }^3}{3}=\frac{8}{3}{\pi }^2\\ \end{array}$
Die Fourier-Reihe ist daher:
$\begin{array}{c}{S}_f(t)=\frac{4}{3}{\pi }^2+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{n^2}cos(nt)-\frac{4\pi }{n}sin(nt)\end{array}$