TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 156

Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe der $2\pi$-periodischen Funktion

$f(t)=t^{2}$,$0\leqslant t<2\pi$, $2\pi$-periodisch fortgesetzt.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Die Fourier-Reihe ist definiert als: ${\begin{aligned}S_{f}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}cos(nt\omega )+b_{n}sin(nt\omega )\end{aligned}}$

Lösungsvorschlag von Fotsirk

Die Periode $T_{p}$ ist $2\pi$, daher ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega =1$
$a_{n}$ berechnen:
${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }t^{2}cos(nt)dt\\\end{aligned}}$
Wenn wir zweimal partiell Integrieren erhalten wir:
${\begin{aligned}\\&={\frac {1}{\pi }}[t^{2}{\frac {sin(nt)}{n}}+2t{\frac {cos(nt)}{n^{2}}}-2{\frac {sin(nt)}{n^{3}}}]{\Biggr |}_{0}^{2\pi }\\\end{aligned}}$
Die Terme, wo sin vorkommt müssen wir nicht auswerten, da sie 0 sind (sin von 0 und $2\pi$ ergeben 0)
${\begin{aligned}\\&={\frac {1}{\pi }}[2t{\frac {cos(nt)}{n^{2}}}]{\Biggr |}_{0}^{2\pi }\\&={\frac {1}{\pi }}[2*2\pi {\frac {cos(n2\pi )}{n^{2}}}-2*0{\frac {cos(n0)}{n^{2}}}]\\&={\frac {4\pi }{\pi n^{2}}}={\frac {4}{n^{2}}}\\\end{aligned}}$

$b_{n}$ berechnen:
${\begin{aligned}b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }t^{2}cos(nt)dt\\\end{aligned}}$
Wenn wir zweimal partiell Integrieren erhalten wir:
${\begin{aligned}\\&={\frac {1}{\pi }}[-t^{2}{\frac {cos(nt)}{n}}+2t{\frac {sin(nt)}{n^{2}}}+2{\frac {cos(nt)}{n^{3}}}]{\Biggr |}_{0}^{2\pi }\\\end{aligned}}$
Die Terme, wo sin vorkommt müssen wir nicht auswerten, da sie 0 sind (sin von 0 und $2\pi$ ergeben 0)
${\begin{aligned}\\&={\frac {1}{\pi }}[-t^{2}{\frac {cos(nt)}{n}}+2{\frac {cos(nt)}{n^{3}}}]{\Biggr |}_{0}^{2\pi }\\&={\frac {1}{\pi }}[-4\pi ^{2}{\frac {cos(n2\pi )}{n}}+0^{2}{\frac {cos(n2*0)}{n}}]+[2{\frac {cos(n2\pi )}{n^{3}}}-2{\frac {cos(n*0)}{n^{3}}}]\\&={\frac {1}{\pi }}[-4\pi ^{2}{\frac {1}{n}}]+[2-2]=-{\frac {4\pi }{n}}\\\end{aligned}}$
$a_{0}$ berechnen:
${\begin{aligned}\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }t^{2}dt\\&={\frac {1}{\pi }}[{\frac {t^{3}}{3}}]{\Biggr |}_{0}^{2\pi }\\&={\frac {1}{\pi }}{\frac {8\pi ^{3}}{3}}={\frac {8}{3}}\pi ^{2}\\\end{aligned}}$
Die Fourier-Reihe ist daher:
${\begin{aligned}S_{f}(t)={\frac {4}{3}}\pi ^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4}{n^{2}}}cos(nt)-{\frac {4\pi }{n}}sin(nt)\end{aligned}}$