TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 167

Die Funktion $f(t)=1-t$ für $0<t<1$ soll auf dem Intervall $(-1,+1)$ zu einer (a) geraden bzw. (b) ungeraden Funktion erweitert und außerhalb dieses Intervalls mit der Periodenlänge $2$ periodisch fortgesetzt werden. Man ermittle die beiden komplexen Fourierreihen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

Plot der geraden Funktion

${\begin{aligned}c_{0}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-i0\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}f(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{-1}^{0}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}f(t)\,\mathrm {d} t\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{-1}^{0}(1+t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}(1-t)\,\mathrm {d} t\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{-1}^{0}(1+t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}(1-t)\,\mathrm {d} t\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\left.\left(t+{\frac {t^{2}}{2}}\right)\right|_{-1}^{0}+\left.\left(t-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\right|_{0}^{1}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(0+0-(-1)-{\frac {(-1)^{2}}{2}}+1-{\frac {1^{2}}{2}}-0-0\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+1-{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}c_{k}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}f(t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{-1}^{0}f(t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}f(t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{-1}^{0}(1+t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}(1-t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{-1}^{0}e^{-ik\omega t}+te^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{1}e^{-ik\omega t}-te^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\left.\left({\frac {ie^{-ik\pi t}}{k\pi }}+{\frac {(1+ik\pi t)e^{-ik\pi t}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)\right|_{-1}^{0}+\left.\left({\frac {ie^{-ik\pi t}}{k\pi }}-{\frac {(1+ik\pi t)e^{-ik\pi t}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)\right|_{0}^{1}\right)\\&={\frac {1}{2k^{2}\pi ^{2}}}\left(\left.\left(ik\pi +1+ik\pi t\right)e^{-ik\pi t}\right|_{-1}^{0}+\left.\left(ik\pi -1-ik\pi t\right)e^{-ik\pi t}\right|_{0}^{1}\right)\\&={\frac {1}{2k^{2}\pi ^{2}}}\left(ik\pi e^{-ik\pi 0}+e^{-ik\pi 0}+ik\pi 0e^{-ik\pi 0}-ik\pi e^{ik\pi }-e^{ik\pi }+ik\pi e^{ik\pi }+ik\pi e^{-ik\pi }-e^{-ik\pi }-ik\pi e^{-ik\pi }-ik\pi e^{-ik\pi 0}+e^{-ik\pi 0}+ik\pi 0e^{-ik\pi 0}\right)\\&={\frac {1}{2k^{2}\pi ^{2}}}\left(ik\pi +1+0-ik\pi e^{ik\pi }-e^{ik\pi }+ik\pi e^{ik\pi }+ik\pi e^{-ik\pi }-e^{-ik\pi }-ik\pi e^{-ik\pi }-ik\pi +1+0\right)\\&={\frac {1}{2k^{2}\pi ^{2}}}\left(2-\underbrace {e^{ik\pi }} _{=(-1)^{k}}-\underbrace {e^{-ik\pi }} _{=(-1)^{k}}\right)\\&={\frac {2-2(-1)^{k}}{2k^{2}\pi ^{2}}}\\&={\frac {1-(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}}}\end{aligned}}$

Beispiel (b)

Plot der ungeraden Funktion

${\begin{aligned}c_{0}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-i0\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}f(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}(1-t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\left.\left(t-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\right|_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left.\left(2-{\frac {2^{2}}{2}}-0+0\right)\right|_{0}^{2}\\&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}c_{k}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-ik\omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}f(t)e^{-ik\pi t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}(1-t)e^{-ik\pi t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}e^{-ik\pi t}-te^{-ik\pi t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2}}\left.\left({\frac {ie^{-ik\pi t}}{k\pi }}-{\frac {(1+ik\pi t)e^{-ik\pi t}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)\right|_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2k^{2}\pi ^{2}}}\left.(ik\pi -1-ik\pi t)e^{-ik\pi t}\right|_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2k^{2}\pi ^{2}}}\left(ik\pi e^{-ik\pi 2}-e^{-ik\pi 2}-ik\pi 2e^{-ik\pi 2}-ik\pi e^{-ik\pi 0}+e^{-ik\pi 0}+ik\pi 0e^{-ik\pi 0}\right)\\&={\frac {1}{2k^{2}\pi ^{2}}}\left(ik\pi -1-ik\pi 2-ik\pi +1+0\right)\\&={\frac {-ik\pi 2}{2k^{2}\pi ^{2}}}\\&={\frac {-i}{k\pi }}\end{aligned}}$