TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 171

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Man zeige: Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten a_n, b_n bzw. c_k einer 2\pi-periodischen Funktion kann an Stelle des Intervalls [0, 2\pi] auch jedes Intervall der Form [a, a + 2\pi] mit a \in \R als Integrationsintervall gewählt werden.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Bei einer 2\pi-periodischen Funktion gilt f(t) = f(t + 2\pi). \cos(k\omega t) ist (mindestens) 2\pi-periodisch. Daher kann man nun folgendes schreiben:

\begin{align} a_n
&= \int_0^{2\pi} f(t) \cos kt \,\mathrm dt \\
&= \int_0^{a} f(t) \cos kt \,\mathrm dt + \int_a^{2\pi} f(t) \cos kt \,\mathrm dt \\
&= \int_{2\pi}^{a+2\pi} f(t) \cos kt \,\mathrm dt + \int_a^{2\pi} f(t) \cos kt \,\mathrm dt \\
&= \int_a^{a + 2\pi} f(t) \cos kt \,\mathrm dt
\end{align}