TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 171

Man zeige: Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten $a_{n}$, $b_{n}$ bzw. $c_{k}$ einer $2\pi$-periodischen Funktion kann an Stelle des Intervalls $[0,2\pi ]$ auch jedes Intervall der Form $[a,a+2\pi ]$ mit $a\in \mathbb {R}$ als Integrationsintervall gewählt werden.

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Lösungsvorschlag

Bei einer $2\pi$-periodischen Funktion gilt $f(t)=f(t+2\pi )$. $\cos(k\omega t)$ ist (mindestens) $2\pi$-periodisch. Daher kann man nun folgendes schreiben:

${\begin{aligned}a_{n}&=\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos kt\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{a}f(t)\cos kt\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{2\pi }f(t)\cos kt\,\mathrm {d} t\\&=\int _{2\pi }^{a+2\pi }f(t)\cos kt\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{2\pi }f(t)\cos kt\,\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{a+2\pi }f(t)\cos kt\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$