TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 171

Man zeige: Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten $a_n$, $b_n$ bzw. $c_k$ einer $2\pi$-periodischen Funktion kann an Stelle des Intervalls $[0,2\pi ]$ auch jedes Intervall der Form $[a,a+2\pi ]$ mit $a\in ℝ$ als Integrationsintervall gewählt werden.

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Lösungsvorschlag

Bei einer $2\pi$-periodischen Funktion gilt $f(t)=f(t+2\pi )$. $\cos (k\omega t)$ ist (mindestens) $2\pi$-periodisch. Daher kann man nun folgendes schreiben:

$\begin{array}{cc}{a}_n& ={\int }_0^{2\pi }f(t)\cos kt\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{a}f(t)\cos kt\mathrm{d}t+{\int }_a^{2\pi }f(t)\cos kt\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{2\pi }^{a+2\pi }f(t)\cos kt\mathrm{d}t+{\int }_a^{2\pi }f(t)\cos kt\mathrm{d}t\\ & ={\int }_a^{a+2\pi }f(t)\cos kt\mathrm{d}t\end{array}$