TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 290

Man löse die exakte Differentialgleichung

$(x+y+1)dx-(y-x+3)dy=0$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von leiwand

$(x+y+1)dx-(y-x+3)dy$

Zunächst müssen wir prüfen ob P (linker Teil, also $(x+y+1)$) integriert nach dy gleich Q (rechter Teil $(y-x+3)$) integriert nach dx

Umformung:

${\frac {(x+y+1)}{dy}}={\frac {(y-x+3)}{dx}}$

Nun berechnen wir

${\frac {\Delta P}{\Delta y}}$ und ${\frac {\Delta Q}{\Delta x}}$

Das gibt $1=1$ daher ist die Funktion integrierbar.

Integration von P nach dx

$\int (x+y+1)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx+x+C(y)$

Nun Ableitung nach y

${\frac {{\frac {x^{2}}{2}}+yx+x+C(y)}{dy}}=x+C'(y)$

Das ist das Zwischenergebnis. Nun benötigen wir noch das c'(y). Das bekommen wir aus Q.

Nun Q Ableiten nach y

${\frac {Q}{dy}}=-y-3$

Nun kann man die Ableitung gleich $C'(y)$ setzen.

Daraus kann man C errechnen:

$C'=-y-3$

$\int (-y-3)\,dy=-{\frac {y^{2}}{2}}-3y=C$

Fügen wir zusammen: Die Lösung aus P und die Konstante C, die wir aus Q berechnet haben:

$f(x,y)={\frac {x^{2}}{2}}+yx+x-{\frac {y^{2}}{2}}-3y$