Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: ![{\displaystyle y'=sin^{2}(x)cos^{2}(y)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d6eacddcb2dd60fccbea41d38e29cfd7&mode=mathml)
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}}
Satz von Moivre:
Trigonometrische Sätze:
Grundintegral:
(für
)
--Thinklex 22:37, 22. Jun. 2021 (CEST)
Die nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung ist seperabel und wird auch so gelöst:
![{\displaystyle y'=sin^{2}(x)cos^{2}(y)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d6eacddcb2dd60fccbea41d38e29cfd7&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=sin^{2}(x)cos^{2}(y)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a552bf9063799da47b24174d9e77aaef&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {dy}{cos^{2}(y)}}=sin^{2}(x)dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=eb7befd2ff01c153950c6973f0387f03&mode=mathml)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{cos^{2}(y)}}dy=\int sin^{2}(x)dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=48f3f76205073660e1c66c65534d12ed&mode=mathml)
Die linke Seite ist ein Grundintegral und kann somit direkt gelöst werden, die rechte Seite kann wie folg umgeformt werden, nach dem Satz von Moivre und den trigonometrischen Sätzen:
![{\displaystyle [cos(x)+isin(x)]^{2}=cos(2x)+isin(2x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=92201b88d62f9c20e5b5591e91b0237a&mode=mathml)
![{\displaystyle cos^{2}(x)+2\cdot cos(x)\cdot i\cdot sin(x)+(i)^{2}\cdot sin^{2}(x)=cos(2x)+i\cdot 2sin(\phi )cos(\phi )}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=da65849546305e5925c0f59ddc9edc98&mode=mathml)
![{\displaystyle cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=cos(2x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c3186e426087da5c1cfb33a8a88fcbc8&mode=mathml)
![{\displaystyle 1-sin^{2}(x)-sin^{2}(x)=cos(2x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=61bbfa844486b53043f25b5e9d2256d5&mode=mathml)
![{\displaystyle 2\cdot sin^{2}(x)=1-cos(2x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1e35106321945f5dff0cff4781229a61&mode=mathml)
![{\displaystyle sin^{2}(x)={\frac {1-cos(2x)}{2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b6e6cec9cccf17dda316b0d7ba79959c&mode=mathml)
Nun kann eingesetzt und integriert werden:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{cos^{2}(y)}}dy=\int sin^{2}(x)dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=48f3f76205073660e1c66c65534d12ed&mode=mathml)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{cos^{2}(y)}}dy=\int {\frac {1-cos(2x)}{2}}dx}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d3a92d7ba9cdd1ea525ad736504839ff&mode=mathml)
![{\displaystyle tan(y)={\frac {x-{\frac {sin(2x)}{2}}}{2}}+C}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ebee4eb618bae836e66cc15644fbe4e7&mode=mathml)
![{\displaystyle y=arctan({\frac {x-{\frac {sin(2x)}{2}}}{2}}+C)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=56739abbabc317ec6ff15f6ecaf272a9&mode=mathml)