TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 301

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: $y'=sin^{2}(x)cos^{2}(y)$

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Hilfreiches

Satz von Moivre: $[cos(\phi )+i\cdot sin(\phi )]^{n}=cos(n\phi )+i\cdot sin(n\phi )=e^{in\phi }$

Trigonometrische Sätze:

$sin(2\phi )=2sin(\phi )cos(\phi )$

$1=sin^{2}(\phi )+cos^{2}(\phi )$

Grundintegral:

$\int {\frac {d\phi }{cos^{2}(\phi )}}=\int (1+tan^{2}(\phi )d\phi =tan(\phi )+c$ (für ${\frac {-\pi }{2}}<\phi <{\frac {\pi }{2}}$)

Lösungsvorschlag von Thinklex

--Thinklex 22:37, 22. Jun. 2021 (CEST)

Die nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung ist seperabel und wird auch so gelöst:

$y'=sin^{2}(x)cos^{2}(y)$
${\frac {dy}{dx}}=sin^{2}(x)cos^{2}(y)$
${\frac {dy}{cos^{2}(y)}}=sin^{2}(x)dx$
$\int {\frac {1}{cos^{2}(y)}}dy=\int sin^{2}(x)dx$

Die linke Seite ist ein Grundintegral und kann somit direkt gelöst werden, die rechte Seite kann wie folg umgeformt werden, nach dem Satz von Moivre und den trigonometrischen Sätzen:

$[cos(x)+isin(x)]^{2}=cos(2x)+isin(2x)$
$cos^{2}(x)+2\cdot cos(x)\cdot i\cdot sin(x)+(i)^{2}\cdot sin^{2}(x)=cos(2x)+i\cdot 2sin(\phi )cos(\phi )$
$cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=cos(2x)$
$1-sin^{2}(x)-sin^{2}(x)=cos(2x)$
$2\cdot sin^{2}(x)=1-cos(2x)$
$sin^{2}(x)={\frac {1-cos(2x)}{2}}$

Nun kann eingesetzt und integriert werden:

$\int {\frac {1}{cos^{2}(y)}}dy=\int sin^{2}(x)dx$
$\int {\frac {1}{cos^{2}(y)}}dy=\int {\frac {1-cos(2x)}{2}}dx$
$tan(y)={\frac {x-{\frac {sin(2x)}{2}}}{2}}+C$
$y=arctan({\frac {x-{\frac {sin(2x)}{2}}}{2}}+C)$