TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 361

Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
$x{u}_x-y{u}_y=xy.$

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Hilfreiches

Hier ist die Methode der Charakteristiken zu verwenden, zu finden im Buch zur Lehrveranstaltung Mathematik für Informatik, Vierte erweiterte Auflage (ISBN 978-3-88538-117-4), Kapitel 7.9 (Partielle Differentialgleichungen), 2. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster ordnung.

Lösungsvorschlag von Thinklex

--Thinklex 18:06, 22. Jun. 2021 (CEST)

Die Angabe hat die Form des allgemeinen Falles der Part. Dgl: $a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u+d(x,y)=0$

Somit kann diese DGL gelöst werden, indem zuerst die dazugehörige Rumpf-Dgl gelöst wird und mit Hilfe dieser transformiert wird:

Rumpf-Dgl: $x{u}_x-y{u}_y=0$

Charakteristisches Dgl-System:

$\dot{x}=x,\dot{y}=y$

Lösen:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{x}$
$\frac{dy}{-y}=\frac{dx}{x}$
$C-ln(y)=ln(x)$
$C=ln(x)+ln(y)=ln(xy)$
$\tilde{C}=xy$

Da $\tilde{C}=xy$ eine Lösung des Charakteristischen Systems ist und somit ein erstes Integral ist, können wir dieses als eine Substitution verwenden:

$\xi =\tilde{C}=xy$

Als zweite Substitution können wir zum Beispiel $\eta =y$ verwenden (ist einfach).

Somit sind x&y: $y=\eta ,x=\frac{\xi }{\eta }$

Somit kann u nun folgendermaßen berechnet werden (Eingesetzt in die Gleichung, wobei auch die rechte Seite transformiert wurde):

$x(U_{\xi }{\xi }_x+U_{\eta }{\eta }_x)-y(U_{\xi }{\xi }_y+U_{\eta }{\eta }_y)=\eta \frac{\xi }{\eta }$
$x(U_{\xi }y+U_{\eta }0)-y(U_{\xi }x+U_{\eta }1)=\xi$
$U_{\xi }(xy-yx)+y{U}_{\eta }=\xi$

Transformiere nun auch $y=\eta$:

$U_{\eta }=\frac{\xi }{\eta }$
$U=\int \frac{\xi }{\eta }d\eta =\xi ln(\eta )+C(\xi )$
$u(x,y)=xyln(y)+C(xy)$