TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 361

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Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier ist die Methode der Charakteristiken zu verwenden, zu finden im Buch zur Lehrveranstaltung Mathematik für Informatik, Vierte erweiterte Auflage (ISBN 978-3-88538-117-4), Kapitel 7.9 (Partielle Differentialgleichungen), 2. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster ordnung.

Lösungsvorschlag von Thinklex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Thinklex 18:06, 22. Jun. 2021 (CEST)

Die Angabe hat die Form des allgemeinen Falles der Part. Dgl:

Somit kann diese DGL gelöst werden, indem zuerst die dazugehörige Rumpf-Dgl gelöst wird und mit Hilfe dieser transformiert wird:

Rumpf-Dgl:

Charakteristisches Dgl-System:

Lösen:






Da eine Lösung des Charakteristischen Systems ist und somit ein erstes Integral ist, können wir dieses als eine Substitution verwenden:


Als zweite Substitution können wir zum Beispiel verwenden (ist einfach).

Somit sind x&y:

Somit kann u nun folgendermaßen berechnet werden (Eingesetzt in die Gleichung, wobei auch die rechte Seite transformiert wurde):




Transformiere nun auch :