TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 361
Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hier ist die Methode der Charakteristiken zu verwenden, zu finden im Buch zur Lehrveranstaltung Mathematik für Informatik, Vierte erweiterte Auflage (ISBN 978-3-88538-117-4), Kapitel 7.9 (Partielle Differentialgleichungen), 2. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster ordnung.
Lösungsvorschlag von Thinklex[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
--Thinklex 18:06, 22. Jun. 2021 (CEST)
Die Angabe hat die Form des allgemeinen Falles der Part. Dgl:
Somit kann diese DGL gelöst werden, indem zuerst die dazugehörige Rumpf-Dgl gelöst wird und mit Hilfe dieser transformiert wird:
Rumpf-Dgl:
Charakteristisches Dgl-System:
Lösen:
Da eine Lösung des Charakteristischen Systems ist und somit ein erstes Integral ist, können wir dieses als eine Substitution verwenden:
Als zweite Substitution können wir zum Beispiel verwenden (ist einfach).
Somit sind x&y:
Somit kann u nun folgendermaßen berechnet werden (Eingesetzt in die Gleichung, wobei auch die rechte Seite transformiert wurde):
Transformiere nun auch :