TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 365

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Eine Funktion heißt homogen vom Grad , falls

für alle und alle , gilt. Man zeige: Falls eine stetig differenzierbare Funktion ist, genügt sie der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

.

Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Gleichung?

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das charakteristische System lautet

, und

Daraus ergibt sich

, und

und in weiterer Folge dass

gilt, woraus folgt. Ebenfalls gilt

und somit auch

was der Homogenität aus der Angabe entspricht.

Allgemeine Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Rumpf-Differenzialgleichung lautet

Daraus folgt das charakteristische Differenzialgleichungssystem

und

welches folgende Phasen-Differenzialgleichung liefert:

Trennung der Variablen liefert sofort die Lösung

bzw.

Daher ist das erste Integral des charakteristischen Differentialgleichungssystem gegeben durch:

Führt man nun die Substitution und das frei gewählte ein, so erhält man für die Funktion die gewöhnliche Differenzialgleichung

Diese Differenzialgleichung liefert:

Nach dem Rücksubstituieren erhält man dann dann als allgemeine Lösung: