TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 365

Eine Funktion $u(x,y)$ heißt homogen vom Grad $n$, falls

$\;u(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}u(x,y)$

für alle $\;\lambda >0$ und alle $x$, $y$ gilt. Man zeige: Falls $u$ eine stetig differenzierbare Funktion ist, genügt sie der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

$\;xu_{x}+yu_{y}=nu$.

Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Gleichung?

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Lösungsvorschlag

Das charakteristische System lautet

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \tau }}=x$, ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \tau }}=y$ und ${\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \tau }}=n\cdot w$

Daraus ergibt sich

$x=c_{1}e^{\tau }$, $y=c_{2}e^{\tau }$ und $w=c_{3}e^{n\cdot \tau }$

und in weiterer Folge dass

$\varphi _{1}(x,y)={\frac {x}{y}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}={\text{const}}$

gilt, woraus$y=x{\frac {c_{2}}{c_{1}}}$ folgt. Ebenfalls gilt

$w=c_{3}\left({\frac {x}{c_{1}}}\right)^{n}=c\cdot x^{n}$

und somit auch

$u(\lambda x,\lambda y)=c\cdot (\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}\cdot c\cdot x^{n}=\lambda ^{n}\cdot u(x,y)$

was der Homogenität aus der Angabe entspricht.

Allgemeine Lösung

$xu_{x}+yu_{y}-nu=0$

$a(x,y)=x$

$b(x,y)=y$

$c(x,y)=-n$

$d(x,y)=0$

Die Rumpf-Differenzialgleichung lautet

$xu_{x}+yu_{y}=0$

Daraus folgt das charakteristische Differenzialgleichungssystem

${\dot {x}}=x$ und ${\dot {y}}=y$

welches folgende Phasen-Differenzialgleichung liefert:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y}{x}}$

Trennung der Variablen liefert sofort die Lösung

$\ln y=\ln x+{\tilde {c}}$ bzw. $c={\frac {y}{x}}$

Daher ist das erste Integral des charakteristischen Differentialgleichungssystem gegeben durch:

$\varphi _{1}(x,y)={\frac {y}{x}}$

Führt man nun die Substitution $\xi (x,y)=\varphi _{1}(x,y)={\frac {y}{x}}$ und das frei gewählte $\eta (x,y)=x$ ein, so erhält man für die Funktion $U(\xi ,\eta )=u(x,y)$ die gewöhnliche Differenzialgleichung

${\begin{aligned}(a(x,y)\eta _{x}+b(x,y)\eta _{y})U_{\eta }+c(x,y)U+d(x,y)&=0\\(x\eta _{x}+y\eta _{y})U_{\eta }-nU+0&=0\\xU_{\eta }-nU&=0\\U_{\eta }-{\frac {nU}{\eta }}&=0\end{aligned}}$

Diese Differenzialgleichung liefert:

${\begin{aligned}U_{\eta }-{\frac {nU}{\eta }}&=0\\{\frac {U_{\eta }}{U}}&={\frac {n}{\eta }}\\\ln U&=n\ln \eta +{\tilde {C}}\\U&=\eta ^{n}\cdot C(\xi )\end{aligned}}$

Nach dem Rücksubstituieren erhält man dann dann als allgemeine Lösung:

$u(x,y)=x^{n}\cdot C\left({\frac {y}{x}}\right)$