TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 368

Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden quasilinearen Differentialgleichung für $u=u(x,y)$:

$(x+u)u_x+(y+u)u_y+u=0$.

Hinweis: Die zugehörigen Phasen-Differentialgleichungen für $x=x(u)$, $y=y(u)$ können durch die Substitution $v=\frac{x}{u}$ bzw. $v=\frac{y}{u}$ implizit gelöst werden.

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Lösungsvorschlag

Der Ansatz $f(x,y,u)=\text{const}$ liefert die Rumpf-Differentialgleichung

$(x+u)f_x+(y+u)f_y-u{f}_u=0$

mit dem zugehörigem charakteristischen Differenzialgleichungssystem

$\dot{x}=x+u$, $\dot{y}=y+u$ und $\dot{u}=-u$

Die entsprechenden Phasen-Differenzialgleichungen liefern

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=-\frac{x+u}{u}$ und $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}=-\frac{y+u}{u}$

welche einzeln über die Substitutionen aus der Angabe leicht implizit gelöst werden:

$v=\frac{x}{u}$, $x=vu$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}u+v$

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}u+v=\frac{vu+u}{u}$

... kürzen, Variablen trennen, integrieren, rücksubstituieren, ergibt:

$u^2+2xu=\text{const}$ und $u^2+2yu=\text{const}$

Daher lautet die allgemeine Lösung für diese Differenzialgleichung:

$f(x,y,u)=F(u^2+2xu,u^2+2yu)=\text{const}$