TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 368

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Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden quasilinearen Differentialgleichung für u = u(x,y):

(x + u) u_x + (y + u)u_y + u = 0.

Hinweis: Die zugehörigen Phasen-Differentialgleichungen für x = x(u), y = y(u) können durch die Substitution v = \frac{x}{u} bzw. v = \frac{y}{u} implizit gelöst werden.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Der Ansatz f(x,y,u) = \text{const} liefert die Rumpf-Differentialgleichung

(x+u)f_x + (y+u)f_y - uf_u = 0

mit dem zugehörigem charakteristischen Differenzialgleichungssystem

\dot x = x + u, \dot y = y + u und \dot u = -u

Die entsprechenden Phasen-Differenzialgleichungen liefern

\frac{\mathrm dx}{\mathrm du} = -\frac{x + u}{u} und \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} = -\frac{y + u}{u}

welche einzeln über die Substitutionen aus der Angabe leicht implizit gelöst werden:

v=\frac{x}{u}, x=vu

\frac{\mathrm dx}{\mathrm du} = \frac{\mathrm dv}{\mathrm du}u+v

\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}u+v = \frac{vu+u}{u}

... kürzen, Variablen trennen, integrieren, rücksubstituieren, ergibt:

u^2 + 2xu = \text{const} und u^2 + 2yu = \text{const}

Daher lautet die allgemeine Lösung für diese Differenzialgleichung:

f(x,y,u) = F(u^2 + 2xu, u^2 + 2yu) = \text{const}