TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 416

Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Weltbevölkerung (in Milliarden) seit dem Jahr 1950 wieder:

Jahr t	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Bevölkerung f(t)	2.53	3.04	3.70	4.45	5.31	6.12	6.90

Man finde eine Trendfunktion der Form $g(t)=c\cdot e^{at}$ und extrapoliere die Bevölkerungszahl für das Jahr 2020.

(Hinweis: Man bestimme die Ausgleichsgerade für die Wertepaare $(t,\ln g(t))$ nach der Methode der kleinsten Quadrate.)

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}}

Lösungsvorschlag

Jahr $t_{i}$	1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Bevölkerung $f(t_{i})$	2.53	3.04	3.70	4.45	5.31	6.12	6.90
$y=\ln f(t_{i})$	0.928219303	1.111857515	1.30833282	1.492904096	1.669591835	1.811562097	1.931521412
Zwischenwerte:
$t_{i}^{2}$	3802500	3841600	3880900	3920400	3960100	4000000	4040100
$t_{i}\cdot y_{i}$	1810.02764	2179.24073	2577.415655	2955.95011	3322.487752	3623.124193	3882.358037

${\begin{aligned}\sum t_{i}^{2}&=27445600\\\sum (t_{i}\cdot y_{i})&=20350.60412\\n&=7\\{\overline {t}}&=1980\\{\overline {t^{2}}}&=3920800\\{\overline {y}}&=1.464855582\\n\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}&=20302.89837\\n\cdot {\overline {t}}^{2}&=27442800\\a&={\frac {\sum (t_{i}\cdot y_{i})-n\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}}{\sum t_{i}^{2}-n\cdot {\overline {t}}^{2}}}=0.017037766\\\ln c&={\overline {y}}-a\cdot {\overline {t}}=-32.26992127\\ln(e^{x})&=x\Leftrightarrow c=e^{-32.26992127}\\g(t)&=c\cdot e^{at}=e^{at+\ln c}=e^{0.017037766t-32.26992127}\\g(2020)&=8.553719572\end{aligned}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 63 (ähnliches Beispiel)
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• TU Wien:Mathematik 1/2/3 UE (diverse)/Lösungssammlung für Buchbeispiele/Kapitel 9 Numerische Mathematik/9.12 (ähnliches Beispiel)