TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 172

Wie lautet die reelle Fourierreihe der Funktion $f(t)=t^2/{\pi }^2$ für $-\pi \le t\le \pi$ und $f(t+2\pi )=f(t)$. Können Sie aus dieser Darstellungen die Gültigkeit nachstehender Formeln ableiten?

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}$

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Lösungsvorschlag

Da $f(t)$ eine gerade Funktion ist, handelt es sich um eine reine Cosinus-Reihe mit

$\begin{array}{cc}{a}_0& =\frac{2}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\cos (0\ast t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{t^2}{{\pi }^2}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{{\pi }^3}{\int }_{-\pi }^{\pi }{t}^2\mathrm{d}t\\ & ={\frac{t^3}{3{\pi }^3}|}_{-\pi }^{\pi }\\ & =\frac{{\pi }^3-(-\pi {)}^3}{3{\pi }^3}\\ & =\frac{2}{3}\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{a}_k& =\frac{2}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\cos kt\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos kt\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{t^2}{{\pi }^2}\cos kt\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{{\pi }^3}{\int }_{-\pi }^{\pi }{t}^2\cos kt\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{{\pi }^3}{\int }_{-\pi }^{\pi }{t}^2\cos kt\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{{\pi }^3}({\frac{t^2\sin kt}{k}|}_{-\pi }^{\pi }-\frac{2}{k}{\int }_{-\pi }^{\pi }t\sin kt\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{{\pi }^3}({\frac{t^2\sin kt}{k}|}_{-\pi }^{\pi }+{\frac{2t\cos kt}{k^2}|}_{-\pi }^{\pi }-\frac{2}{k^2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kt\mathrm{d}t)\\ & =\frac{1}{{\pi }^3}({\frac{t^2\sin kt}{k}|}_{-\pi }^{\pi }+{\frac{2t\cos kt}{k^2}|}_{-\pi }^{\pi }-{\frac{2\sin kt}{k^3}|}_{-\pi }^{\pi })\\ & ={\frac{k^2{t}^2\sin kt+2kt\cos kt-2\sin kt}{{\pi }^3{k}^3}|}_{-\pi }^{\pi }\\ & ={\frac{(k^2{t}^2-2)\sin kt+2kt\cos kt}{{\pi }^3{k}^3}|}_{-\pi }^{\pi }\\ & =\frac{(k^2{t}^2-2)\stackrel{=0}{\overbrace{(\sin k\pi -\sin -k\pi )}}+2k\pi \cos k\pi +2k\pi \cos -k\pi }{{\pi }^3{k}^3}\\ & =\frac{2k\pi \stackrel{2\cos k\pi }{\overbrace{(\cos k\pi +\cos -k\pi )}}}{{\pi }^3{k}^3}\\ & =\frac{4\cos k\pi }{{\pi }^2{k}^2}\end{array}$

Da der Cosinus zwischen $-1$ und $1$ alterniert, kann man auch folgendes schreiben:

$a_k=\frac{4(-1{)}^k}{{\pi }^2{k}^2}$

Somit ergibt sich:

$f(t)=\frac{t^2}{{\pi }^2}=\frac{1}{3}+\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\cos kt}{k^2}$

Für den Fall $t=\pi$ gilt:

$\begin{array}{cc}\frac{t^2}{{\pi }^2}& =\frac{1}{3}+\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\cos kt}{k^2}\\ \frac{{\pi }^2}{{\pi }^2}& =\frac{1}{3}+\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\cos k\pi }{k^2}\\ 1-\frac{1}{3}& =\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}\\ \frac{{\pi }^2}{6}& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}\end{array}$

Für den Fall $t=0$ gilt:

$\begin{array}{cc}\frac{t^2}{{\pi }^2}& =\frac{1}{3}+\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\cos kt}{k^2}\\ \frac{0^2}{{\pi }^2}& =\frac{1}{3}+\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\cos 0}{k^2}\\ 0& =\frac{1}{3}+\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k^2}\\ -\frac{1}{3}& =\frac{4}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k^2}\\ -\frac{{\pi }^2}{12}& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k^2}\\ \frac{{\pi }^2}{12}& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k^2}\\ \end{array}$