TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 336

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$:

$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sin (x+y-z)}{\cos (\frac{xy}{z})})$

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Hilfreiches

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, d.h. $f(x_1,\dots ,x_n)\doteq \left(\begin{array}{c}{f}_1(x_i)\\ ⋮\\ f_m(x_i)\end{array}\right)$:

$J_f=\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von Osaic

Die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) ist eine Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen.

$f^{\prime }(x,y,z)={\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)}_{i=1\dots 2,j=1\dots 3}$

Nun muss man alle partiellen Ableitungen bilden.

$g(x,y,z)=sin(x+y-z)$

$g_x=cos(x+y-z)$

$g_y=cos(x+y-z)$

$g_z=-cos(x+y-z)$

$h(x,y,z)=\cos (\frac{xy}{z})$

$h_x=-sin(\frac{xy}{z})\cdot \frac{y}{z}$

$h_y=-sin(\frac{xy}{z})\cdot \frac{x}{z}$

$h_z=sin(\frac{xy}{z})\cdot \frac{xy}{z^2}$

//Anmerkung koDiacc: Ableitung nach z von xy/z ist = -xy/z^2 und deswegen +sin(...)

Nun müssen die Ableitungen noch in die Matrix eingesetzt werden. Das funktioniert nach folgendem Schema.

$J_t=\left(\begin{array}{ccc}{g}_x& g_y& g_z\\ h_x& h_y& h_z\end{array}\right)$

Für das Beispiel bedeutet dies:

$J_t=\left(\begin{array}{ccc}cos(x+y-z)& cos(x+y-z)& -cos(x+y-z)\\ -sin(\frac{xy}{z})\cdot \frac{y}{z}& -sin(\frac{xy}{z})\cdot \frac{x}{z}& sin(\frac{xy}{z})\cdot \frac{xy}{z^2}\end{array}\right)$

Links

• Funktionalmatrix auf Wikipedia

• Diskussion im Informatikforum

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