TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 290

Man löse die exakte Differentialgleichung

$(x+y+1)dx-(y-x+3)dy=0$

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Lösungsvorschlag von leiwand

$(x+y+1)dx-(y-x+3)dy$

Zunächst müssen wir prüfen ob P (linker Teil, also $(x+y+1)$) integriert nach dy gleich Q (rechter Teil $(y-x+3)$) integriert nach dx

Umformung:

$\frac{(x+y+1)}{dy}=\frac{(y-x+3)}{dx}$

Nun berechnen wir

$\frac{\Delta P}{\Delta y}$ und $\frac{\Delta Q}{\Delta x}$

Das gibt $1=1$ daher ist die Funktion integrierbar.

Integration von P nach dx

$\int (x+y+1)dx=\frac{x^2}{2}+yx+x+C(y)$

Nun Ableitung nach y

$\frac{\frac{x^2}{2}+yx+x+C(y)}{dy}=x+C^{\prime }(y)$

Das ist das Zwischenergebnis. Nun benötigen wir noch das c'(y). Das bekommen wir aus Q.

Nun Q Ableiten nach y

$\frac{Q}{dy}=-y-3$

Nun kann man die Ableitung gleich $C^{\prime }(y)$ setzen.

Daraus kann man C errechnen:

$C^{\prime }=-y-3$

$\int (-y-3)dy=-\frac{y^2}{2}-3y=C$

Fügen wir zusammen: Die Lösung aus P und die Konstante C, die wir aus Q berechnet haben:

$f(x,y)=\frac{x^2}{2}+yx+x-\frac{y^2}{2}-3y$